同调（Homology）是啥？

回忆基本群的思路：

为了对拓扑流形分类，数流形上n维“洞”的个数，可以沿流形表面画闭合的（有向）圈（从流形上一个点出发沿一个方向经过流形上连续相邻的点绕一圈以后回到起点）。我们能够画的圈有无限个，但其中的一些圈以拓扑视角看待是等价的（可以通过连续变换对应起来），因此可以归为同一类圈。我们关心的是无法相互通过连续变换对应起来的圈类的（如绕洞画的圈和不绕洞画的圈），因为这对应了洞的个数，从而得到流形的拓扑特征。我们还发现，如果对于同一个起点接驳两个上述的圈可以构造出新的圈，新的圈依然落在流形上。因此我们可以把所有起始且终于这点的圈用一个群（基本群）表示，其中群加法定义为上述接驳，只要圈的方向定义良好，我们可以给出任一一个圈的“逆圈”（以相反方向画），对应的正反两条路径可以抵消得到零元素（画了一个点）。

出于基本群的一些技术限制，为了能够在高维流形上推广上述操作，数高维的“洞”，我们希望给出基本群的一个“优化”版本——同调群。这里不尝试给出数学上的动机，但希望由一个实例出发，说服你同调群在做和基本群类似的工作。

想像一个苹果的表面，这个表面对应了上述的拓扑流形。由于精度的限制我们无法将整个苹果的所有细节（如分子级别）录入计算机，但我们仍然希望计算机能捕捉苹果面“大致”的样子。我们可以将苹果的表面“晶胞”化（参考PS5宣传的渲染用的10亿个小“三角形”），这类似于微积分中的近似思想。所谓“晶胞”化，就是用我们容易处理的简单流形单元（如三角形）作为单位去拼凑构建我们的目标流形（苹果表面）。目标的几何信息被晶胞之间的关系捕获，而位于晶胞内区域的目标信的息被我们忽略了（局部被平直化，类似于取泰勒展开的第一项）。我们会发现，用于构建的晶胞的个数越多，我们能还原的流形的细节就越多。为啥要用三角形？下文会尝试给出一个粗略的原因（事实上过去的游戏机尝试过使用四边形）。

上述的操作学术上叫“三角化”，每个小三角形称为“单形”，而所有三角形粘合成的物体称为“复形”，作为原苹果面的一个模型。

现在我们希望沿用基本群的思路在复形上画圈。上面说到，我们忽略了目标在三角形内部的细节，这说明在每个单形中的内容是没有细节的。也就是说，当我们谈到模型的表面的某个部分，这个面就是由所有三角形中的某些构成。当我们谈到模型的表面的某条线段，这个线段就是由所有三角形的边中的某些边组合而成。即被每个三角形内的面包含的线段，在我们的语境中是不存在的。因此在这个模型上画圈，圈也只能由这些三角形的边构成（由某个三角形的一个端点出发，连续地沿着相邻三角形的边行走，最终回到起点）。下文中我们会看到，为了准确描述某维度中“洞”的概念，我们不仅需要能画圈，还需要得到边界和面的关系。因此我们选择三角形的一个原因是，三角形是在2维维度下，能够给出圈与被圈作为边缘包围的面的关系的最简单的几何体，且任何的面都能被粗略地分割成由三角形组成（在不同维度上推广此概念我们就得到不同维度的单形，如正四面体等）。

晶胞化的另一个好处是，只要单形的方向有良好的定义（见百科），复形和斯托克斯定理是兼容的（这解释了为啥单形构成复形要求单形间同维度边界粘连，否则相邻边界间无法通过正反方向抵消）。当我们对一个有方向的面取边界（作用边界算符），相当于对所有构成面的三角形取边界后简单加和。也就是三角形作为单元所包含的“微观”圈（边缘）面关系反映到了整体的“宏观”圈面关系上。

现在我们可以表示出模型（复形）上所有的圈：对构成模型的所有三角形进行线性组合。由于我们没有粘贴分数个三角形，所以组合系数为整数（负数代表反方向）。我们发现我们构造出了一个 free abelian group 称为 C_1 链群（1D chain group），其中群加法正是上面提到的相邻三角形间的粘连。

下面由一个简单的例子给出构造同调群的思路。为了讨论方便质我们可以先回避右边的三角化方案回到左边的流形图例。

图1

考虑图中1维的圈（a-b，忽略蓝色实心部分）：

如果要由 a 和 b 构造所有可能的路径（A×a+B×b，A、B 整数 {负数代表向反方向走}），由于 a、b 各进入 X 一次，离开 Y 一次，故可能路径中组成圈的通过 a、b 的组合必须进入及离开其中一点（如 X）相同的次数。等价地，经过 a 的次数等于反向经过b的次数：A=-B 或 A+B=0。

故 C_1 链群中的元素是所有由给定复形限定的（沿线段的）行走方式。

（对于每个维度的单形，我们可以定义对应的链群。）

对于相邻维度的链群， 我们可以建立一个同态映射，将高维（n）单形组合映射到低维（n-1）。构造方法是取高维单形的“边界”。

若我们对于所有单形有定义良好的取向，则圈可以被定义为无“边界”，即取边界算符作用在圈上得到0（元素）。故圈可以表示为对应同态的核。

我们可以用 a-b 作为生成上述核的生成元（generator）。即所有的圈可以用a-b的整数倍表示（对应群的阶数为1）。这些圈是所有可能路径（a、b 两个生成元对应群的阶数为2）的子集。

这里同态映射核的阶数对应1维“洞”的个数（1个）。{以最简单的（未重复路径的）“洞”作为生成元可以生成所有可能的“洞”：生成元的个数为我们希望找到的“洞”的个数}

现考虑2维的圆（考虑蓝色实心部分）：

与上述讨论唯一不同的是现在 a、b 通过蓝色实心部分联通了起来，a-b 不再是真的“洞”。

为了探测真实的“洞”我们应从n维的圈中扣除作为 n+1 维单形边界的圈（如a-b ）。 在链群中扣除所有这些边界“洞”相当于忽略所有以 a-b 生成的圈，这些圈对应一个子群，即 n+1 维边界算符的像。此操作数学上表示为取商群： Ker(d_n)/Im(d_n+1) = H_n。

我们称这个新群为目标流形的 n 阶同调群，其生成元的个数对应复形 n 维“洞”的个数。

没了