考研概率论与数理统计考点归纳
概率论与数理统计考点归纳与典型题（含考研真题）详解
第1章 概率论与数理统计的基本概念
1.1 考点归纳
一、随机事件及其运算
1．事件间的关系
（1）包含关系
如果属于A的样本点必属于B，则称A被包含在B中（见图1-1），或称B包含A，记为AB，或BA。用概率论的语言说：事件A发生必然导致事件B发生。
对任一事件A，必有AΩ。
图1-1AB
（2）相等关系
如果事件A与事件B满足：属于A的样本点必属于B,而且属于B的样本点必属于A，即AB且BA，则称事件A与B相等，记为A＝B．
（3）互不相容
如果A与B没有相同的样本点，则称A与B互不相容．用概率论的语言说：A与B互不相容就是事件A与事件B不可能同时发生．
2．事件间的运算
（1）和事件
事件A∪B＝{x|x∈A或x∈B）称为事件A与事件B的和事件．当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件AB发生．
称为n个事件A1，A2，…，An的和事件；称为可列个事件A1，A2，…的和事件．
（2）积事件
事件A∩B＝{x|x∈A且x∈B）称为事件A与事件B的积事件．当且仅当A，B同时发生时，事件A∩B发生.A∩B也记作AB．
称为n个事件A1，A2，…，An的积事件；称为可列个事件A1，A2，…的积事件．
（3）差事件
事件A-B＝{x|x∈A且xB）称为事件A与事件B的差事件．当且仅当A发生、B不发生时事件A-B发生．
（4）互斥事件
若，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的．即事件A与事件B不能同时发生．基本事件是两两互不相容的．
（5）逆事件
若A∪B＝S且，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件．对每次试验而言，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生．A的对立事件记为．
3．事件的运算性质
设A，B，C为事件，则有：
（1）交换律：A∪B＝B∪A；A∩B＝B∩A；
（2）结合律：A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C；A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C；
（3）分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）．
（4）对偶律（德摩根公式）
事件并的对立等于对立的交：
事件交的对立等于对立的并：
二、频率与概率
1．频率
（1）定义
在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值nA/n称为事件A发生的频率，并记成．
（2）频率的基本性质
①；
②；
③若A1，A2，…，Ak是两两互不相容的事件，则
2．概率
（1）定义
设E是随机试验，S是它的样本空间．对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件A的概率，如果集合函数P（A）满足下列条件：
①非负性：对于每一个事件A，有P（A）≥0；
②规范性：对于必然事件S，有P（S）＝1；
③可列可加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于，i≠j，i，j＝1，2，…，有P（A1∪A2∪…）＝P（A1）＋P（A2）＋…
（2）概率的性质
①
②（有限可加性）若A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则有：
P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）
③设A，B是两个事件，若，则有：
P（B-A）＝P（B）-P（A）与P（B）≥P（A）
④对于任一事件A，P（A）≤1；
⑤（逆事件的概率）对于任一事件A，有；
⑥（加法公式）对于任意两事件A，B有P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）；
一般，对于任意n个事件A1，A2，…，An，可以用归纳法证得：
三、等可能概型（古典概型）
1．定义
如果一个随机试验具有以下两个特点：
（1）试验的样本空间只包含有限个元素；
（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同.
则这种试验称为等可能概型
