吴国盛 | 希腊数学作为自由学术的典范

柏拉图说，学习算术是为了灵魂本身去学的，而且又因为这是使灵魂从暂存过渡到真理和永存的捷径。在第一次数学危机后，几何逐渐成为希腊数学的主力学科——它更加体现了希腊数学的独一无二，更加代表了希腊科学的精神，把演绎的精神、证明的精神发挥得淋漓尽致，成为西方理性精神的代言人、理性思维的练习曲。

为了进一步理解希腊科学，除了它的一般特征外，还需要结合它的具体内容做一些解析。人文教化首先要落实到教育的内容中。以雅典为例，自由民的子弟，7—14岁要进初等学校，接受体育和音乐教育。所谓音乐教育，不只包含今天的弹琴唱歌，也包含阅读、写作、诵诗、计算等缪斯传授下来的各种知识。14—17岁的少年接受中等教育，学习文法、修辞、几何等。18岁的青年进入国家设置的青年训练团，接受军事教育。雅典人认为教育的目的是培养全面发展的合格公民，因此在教育科目的设置中，不仅包括一般希腊城邦都设置的体育和音乐教育，而且包括知识教育即科学教育。在《理想国》里，柏拉图对知识教育的科目设置做了仔细地讨论。他认为，除了体育和音乐这些初等教育外，雅典的自由民子弟还应该学习算术、几何、天文学、和声学这4门功课。这5门功课后来成为欧洲博雅教育中的四艺（quadrivium），与文法、逻辑、修辞组成的文科三艺（Trivium）合称自由七艺（seven liberal arts），是中世纪大学基础教育的主要科目。

为什么要选择这四门学科作为自由民教育中的必修课呢？因为这四门学科典型地体现了希腊人自由的学术理想。柏拉图在《理想国》第七卷中认真讨论了自由民教育的科目设置问题。在谈到音乐、体育和手工艺这些低等教育之后，柏拉图提出了纯粹为了提升灵魂朝向至善之境的高等教育问题。他举出了算术：“我们必须竭力奉劝我国未来的主人翁学习算术，不是像业余爱好者那样来学，而必须学到他们唯有靠心智才能认识数的性质那种程度；也不像商人和小贩那样，仅是为着做买卖去学，而是为了它的军事上的应用，为了灵魂本身去学的；而且又因为这是使灵魂从暂存过渡到真理和永存的捷径。”在谈到几何时：“为满足军事方面的需要，一小部分几何学和算术知识也就够了。这里需要我们考虑的问题是，几何学中占大部分的较为高深的东西是否能够帮助人们较为容易地把握善的理念。……事实上这门科学的真正目的是纯粹为了知识。”在谈到天文学时，格劳孔强调天文学的实际功用，他说：“对年月四季有较敏锐的理解，不仅对于农事、航海有用，而且对于行军作战也一样是有用的。”苏格拉底批评他说：“如果我们要真正研究天文学，并且正确地使用灵魂中的天赋理智的话，我们就也应该像研究几何学那样来研究天文学，提出问题解决问题，而不去管天空中的那些可见的事物。”柏拉图强调了算术、几何、天文这些科目的目的不是实用，而是帮助把握善的理念。

四艺最早来自毕达哥拉斯学派，而且这个学派极大地发展了算术这门学科，使其一度成为希腊数学四科中的显学。“算术”是什么意思？从这个词的中文字面意思看，就是计算的技术、技巧、方法，但这与希腊人的“算术”完全错位。希腊人的算术（arithmetic）准确的说应该是“数论”（number theory），与计算毫不相干。与计算相关的是另一个学科，叫做logistic，译成“算术”正合适。也就是说，希腊人有两个学科，一个是arithmetic，研究“数”的理论，一个是logistic，研究数的计算。这种区分一直持续到15世纪后期，最后用arithmetic统一了这两个方面，即既包括数论也包括计算的学科。近代传到中国，因为中国文化传统里只有计算这一块，便译成“算术”。这个译名对于理解希腊的“算术”（arithmetic）完全是灾难性的。

希腊算术研究什么东西呢？研究数的理论。毕达哥拉斯学派对数字有一种异乎寻常的尊崇，他们把“万物即数、数即万物”作为学派的基本教条，发展了一种引人注目的数字神秘主义（numerology）。毕氏学派对于数做了许多分类和命名，有些分类是我们比较熟知的，比如奇数和偶数、素数（质数）和合数等，还有些我们就比较陌生了。比如“完全数”、“亲和数”、“三角形数”等。任何一个数都可以分解成几个真因数的乘积，如果这些因数加起来正好等于这个数，那这个数就称为“完全数”（perfect number）。比如6就是一个完全数，因为它等于1+2+3。如果这个数大于它的真因数之和，称“亏数”（deficient numbers），如果小于则称“盈数”（abundant numbers）。如果两个数互为对方的真因数之和，则称这两个数为“亲和数”（amicable numbers），比如毕达哥拉斯发现了284和220就是两个亲和数。还有一类特别突出的分类命名方法是按照点数形成的几何形状进行。比如，3、6、10都是三角形数，4、9、16是平方形数，5、12、22是五边形数。可以很容易看出，平方形数都是前面两个三角形数之和，比如4是1和3之和，9是3和6之和，16是6和10之和。

毕氏学派对数做这些处理看起来很无聊，实则因为我们今天的人把数弄得非常纯粹，才觉得单纯摆弄这些数莫名其妙。对毕达哥拉斯学派来说，数的性质就是世界的性质。比如他们认为一是本原，二是运动，三是宇宙；一是善，二是恶；奇数代表善、雄性、静止、光明、正方、有限，而偶数代表恶、雌性、运动、黑暗、长方、无限等等。他们还认为两个人若是把两个亲和数放在自己身上，那就会永远保持亲密的友谊关系。这些观点今天看起来当然很奇怪。但是，正由于强化了数即万物的本原的思想，研究数就是研究宇宙的本原，数论因而获得了内在的意义和价值。这一点为希腊算术（数论）的发展提供了极为重要的原始动力。即使在人们已经不相信、不在乎毕氏学派赋予数的那些额外含义之后，数学仍然可以延着自己的逻辑继续发展。

中国上古时期也流行着与毕达哥拉斯学派类似的数字神秘主义，比如易经。但是易经在数自身的特性方面开发得较少，比较简单，而在数的含义的解说和演绎方面着力甚多。换而言之，古代中国的数秘术与古希腊的数秘术之区别在于，前者侧重解象，后者侧重数术。中国的数秘术后来发展成了更具方法论意义的宇宙形而上学，与算术这种形而下的奇技淫巧渐行渐远、分道扬镳。中国的数学（算术）没有本体论功能，中国的宇宙论不会因为数学理论的进展而得到刷新。与之相反，从毕达哥拉斯以来的希腊数学一直与宇宙论、形而上学相伴随，或隐或现地支配着西方人对世界的看法。

作为一种单纯的技术，中国算术一直具有极强的实用性。从《周髀算经》到《九章算术》，都是应用导向，解应用题。为了提高解某一类应用题的效率，中国算术创造性的发展了算法技巧。但是，总的来看，对计算程序和计算过程“本身”很少关注，对算法是否正确都很少证明甚至说明。作为一种单纯的技术，中国算术在中国文化中没有较高的地位。上古时期，“数”还名列六艺之末：礼、乐、射、御、书、数，其中礼乐射御是大艺，贵族专有，书数是小艺，庶民习之。到了后来，数术慢慢边缘化，以致完全无人置

理。琴棋书画是士大夫的风雅四艺，而算术不在其列。在金庸的武侠小说里，只有一个叫瑛姑的人算术比较好，人称“神算子”，但武功并不很高强。

毕达哥拉斯学派创始的希腊算术（数论）一开始就高标特立，说“数即宇宙的本原”，起点很高。后人想降一降，但因为起点太高，也没有降下来多少。希腊古典时代，柏拉图是认同毕达哥拉斯学派的，所以特别重视数学，亚里士多德把数学降了一点，认为逻辑高于数学，但也降得不多。一个主要原因是，毕氏学派的数本主义中包含的数之“内在性”思想被后人进一步发挥光大，所以尽管数学不一定就是唯一的内在性领域，也至少是内在性的一个好的范本。人们通过学习数学诸科，可以更好地进入这个超越的内在性领域。柏拉图虽然认为辩证法才是最高级的科目，数学四科并不是，但他仍然推崇数学四科。因为辩证法只有极少数人才能学得了，而数学四科却是所有人都可以学习的。因为数学（mathematics）在希腊文中的意思本来就是，“能学能教的东西”。

在西方，毕达哥拉斯的名字与毕达哥拉斯定理紧密联系在一起。说起毕达哥拉斯定理，许多中国人还不太熟悉，因为我们的中小学课本里并不使用这个名字。我们的名字是勾股定理，但是把毕达哥拉斯定理称为勾股定理并不是特别合适。《周髀算经》里虽然提到了勾三股四弦五这样的特定关系，但并没有给出一个普遍的证明，即任何一个直角三角形，其直角边的平方和等于斜边的平方。历史记载里，中国人对这个定理的证明最早是公元三世纪初的赵爽，他利用后人称为“出入相补”的方法，对这个定理做了很漂亮的证明。可是，西方的历史记载，毕达哥拉斯学派早在公元前六世纪，或者至少在公元前四世纪就给出了证明。希腊数学一开始就强调证明，这是与中国的算术完全不同的。

毕达哥拉斯定理的发现促使毕氏学派搞出了所谓的三元数组，又称毕达哥拉斯三数，即满足直角三角形三边关系的数，比如3、4、5是一组，6、8、10也是一组，但更重要的是，让他们发现了不可公度性。我们首先要知道，数和量是不同的概念。大致说来，数是对量的一种测度。量，比如长度、重量、时间，都有大小，把大小说出来就是数。为了说出大小，我们需要先指定一个单位，测度一个量不过就是把这个量分解还原为这个单位的倍数。这个倍数可以是整数，也可以是整数之比即分数。一个量能够完成这样的测度，被称为可公度的（commeasurable）。毕达哥拉斯学派曾经认为一切量都是可以公度的，都可以还原为整数或者整数的比例，因此对“万物皆数、数即万物”的教条信心满满。不幸的是，正是他们自己首先发现了一个等腰直角三角形的斜边是不可公度的。如果让等腰直角三角形的腰为1，按照毕达哥拉斯定理，其斜边就应该是根号2，可是，他们发现根号2不可能等于任何整数之比。这个发现对毕达哥拉斯学派来说是致命的，以致于有传说，作出这一发现的希帕索斯被他的同伴们扔到海里去了。根号2的发现被认为是西方历史上的第一次数学危机。

希腊人这样的认死理，一项纯粹的数学发现竟能让他们动了杀机、置人于死地，这特别让我们中国人感到不可思议。其实，任何一种文化都有它不可动摇的核心约束和规范，只是规范的内容不同，不近人情却常常是一样的。中国人不也有“饿死事小、失节事大”这样的说法吗？“郭巨埋儿”的故事似乎更加残忍，但却被中国传统文化欣然接受。希帕索斯之死与郭巨之子之死，表现的是“仁-礼”文化与“自由-科学”文化的深刻差异。

第一次数学危机之后，算术（数论）的地位开始下降，几何的地位开始上升，并且最终成为希腊数学的主力学科。几何学更加体现了希腊数学的独一无二，更加代表了希腊科学的精神。它把演绎的精神、证明的精神发挥得淋漓尽致，成为西方理性精神的代言人、理性思维的练习曲。柏拉图学园门口写着：“不懂几何学者不得入内”。今天，有许多人在研究柏拉图的哲学，不知道他们中有多少人接受过严格的几何学训练。不懂几何学，怎么能够真正弄懂柏拉图哲学呢？

与希腊算术不同，希腊几何学有自己的集大成之作，即欧几里德的《原本》。《原本》是一部奇书，奇就是奇在，它不仅是集成希腊古典时代几何学成就的巅峰之作，而且又是流传欧洲一千多年的几何学入门教科书，因此不仅影响了几何学家，也影响了西方的普通人，影响了整个欧洲文化。据统计，在有了印刷术之后，欧洲印刷量最大的著作，第一是《圣经》，第二就是《原本》。这个排名也是实至名归，反映了现代欧洲文明就是两希文明——希腊文明与希伯来文明的融合，《原本》和《圣经》就是两希文明的两大经典。

如果说希腊算术（数论）还有中国算术勉强作为对应的话，希腊几何学则完全找不到相应的中国对应学科，这种一头扎进去专门搞推理、证明、演绎和论证的套路，在中国文化中是闻所未闻。明朝末年，耶稣会士利玛窦来华传教，带来了《原本》一书。徐光启读到此书大为赞叹，并且与利玛窦合作译出了此书的前6卷。用“几何”一词来译Geometry就是由他确定的，今天我们广泛采用的点、线、面、平面、曲线、曲面、直角、钝角、锐角、垂线、平行线、对角线、三角形、四边形、圆、圆心、相似、切线等名词，都是他第一次采用的。他在《几何原本》译本的序言中说：“此书为益，能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。”还说，“窃意百年之后必人人习之，即又以为习之晚也”。很可惜，此“无一人不当学”之学问，并未受到中国知识分子的欢迎，直至三百年后，中华民族面临三千年未有之大变局之后，才成为“人人习之”的必修课目。“几何”一词也不是一直通行通用。另一个更为常用的译名是“形学”，直到1910年，“几何学”才取代“形学”成为通用译名。

虽然今日几何已经成为中学法定必修的课程，因此，按照九年义务教育法，理论上，全国人民都应该受过几何学训练，但实际上，我们中国人相当程度上对几何学一头雾水。我们比较熟悉的是应用题，比如《九章算术》中“方田章”计算田地面积，“商功章”计算土石方体积，至于几何学专事定义、定理、公理、公设、推导、证明，是我们完全陌生的。先秦诸子中，墨家讲过一些概念定义，名家讲过一些逻辑推理，但最后都边缘化了。长期以来，中国人的思维方式中概念模糊、比附式推理盛行，严密推理不足。在中医里面，“取类比象”的方法尤其广泛。比如花朵生于植物顶端，故多用于治疗头部疾病；鸽子喜欢升腾，故食之可以补人阳气。民间流行吃什么补什么，相信孕妇吃了兔子则胎儿易生兔唇之类，不一而足。此类比附式推理基本上停留在经验式的或然推理水平，达不到严格的必然性。那种严格的推理本身，因为过分形式化，看不到实际的功用，不为中国文化所喜爱。徐光启赞扬《原本》时，仍然是着眼于本书的用：“《几何原本》者，度数之宗，所以穷方圆平直之情，尽规矩准绳之用也。……盖不用为用，众用所基。”没有意识到《原本》所独创的，是系统性地演绎推理，更没有意识到《原本》所蕴涵的，却是一种西方文化所独有的理性精神。

也许由于《几何原本》过于伟大，使得被它整理过的那些数学著作全都在历史的滚滚风尘中蒸发湮没了，我们无法有确凿的文本根据来说明，演绎几何究竟是在谁的手里成型、公理方法究竟从何时开始普遍采用。但是，一个多世纪来数学史的研究表明，毕达哥拉斯及其学派和柏拉图及其学派对于塑造这种唯理的数学精神是决定性的。希腊数学和希腊哲学是亲密无间的姊妹学科。柏拉图本人并没有任何一项数学发现留传于世，但他的哲学思想对希腊数学的发展是影响最大的。这个影响一方面当然是强化了公理化方法的运用、强化了演绎证明才是真正数学的观念，另一方面，由于柏拉图非常厌恶在数学研究中运用机械工具，所以希腊几何学形成了只用直尺和圆规两种工具的成规。需要强调的是，和我们今天的尺规不完全一样，希腊人的直尺是没有刻度的，希腊的圆规也不是现代圆规。欧几里得圆规的两个脚不能同时离开纸面，一旦同时离开纸面，原有的半径就不能保持住。希腊数学留下了三个著名的难题，即化圆为方、倍立方、三等分任意角。这三个难题之所以是难题，就在于它限制必须是通过尺规作出来，如果放松这个限制，难题也就不成为难题。欧几里得关于圆规的限制实际上基于某种空间哲学，即我们不能预设空间处处均匀。如果空间不是处处均匀，那么圆规的两只脚都离开纸面后，就不能保证它还代表相同的半径距离。事实上，空间处处不均匀，正是亚里士多德的物理学所要求的。

几何学固然是关于形的知识，但其要义却是严密的逻辑推理、完整的公理体系以及数学世界的内在秩序和确定性，因此，一千多年来，几何学被认为是理性科学的典范。牛顿创建新物理学的革命性著作《自然哲学的数学原理》，采用的是《几何原本》的写法，即从定义、公理、公设开始，不断推导出新的定理。斯宾诺莎的《伦理学》也采用的是《原本》的写法。科学革命时期，那些有抱负的伟大著作，为了显示自己的科学身份，纷纷以欧几里得《几何原本》为榜样，以公理化的方法来构思写作。在启蒙运动时期，法国科学院常任秘书丰丹涅尔说：“几何学精神并不只是与几何学结缘，它也可以脱离几何学而转移到别的知识方面去。一部道德的、或者政治学的、或者批评的著作，别的条件全都一样，如果能按照几何学者的风格来写，就会写得好些。”

数学四艺中的前两项算术和几何是“纯粹数学”，后两项音乐（和声学）和天文学则可以看成是“应用数学”——和声学（harmonics）是应用算术（数论），天文学是应用几何。希腊化时期的普罗克洛提供的另外一种划分方法是，数学分两类四种，一类研究“数”（quantity）或“多少”，是不连续的，一类研究“量”（magnitude）或“大小”，是连续的。其中算术研究数，音乐研究数之间的关系；几何学研究静止的量，球面学（天文学）研究运动的量。所谓音乐研究数之间的关系，就是研究数与数之间的比例，以及这些比例之中蕴涵着的种种规律和宇宙论意义。一般中国人想不到，音乐（和声学）会成为数学学科，其实，音的和谐问题曾经是激励毕达哥拉斯创立其数本主义哲学的重要动力。据说，他路过铁匠铺，听到不同重量的铁块发出不同声调的音，受到启发。回家还继续在琴弦上做实验，发现相同的弦，在不同的负重即不同的压力下，会发出不同的音高，而且他发现，如果两者负重之比是2∶1时，音高则相差正好八度，两者负重之比是3∶2时，音高则相差五度，负重之比是4∶3时，音高相差四度。这个发现揭示了声音和谐背后的数学本质。对毕达哥拉斯来说，和谐(harmony)乃宇宙（cosmos）之本质，而一切和谐归根结底是数的特定比例。因此，小到七弦琴，大至整个宇宙，都可以做和声学（音乐）的研究。日后的开普勒苦苦谱写天体之音乐，终于发现了行星运动三定律。他的著作《宇宙的和谐》一书中充满了五线谱，他的三定律的确是被谱出来的。这的确是一个毕达哥拉斯主义者的正宗做派。今天的音乐家与数学家已经是隔行如隔山了，人们根本想不到在希腊时期，音乐居然是数学四科之一。

来自学林（2016.5.27，第246期）