题目05：对设计学院罚作业问题的概率期望研究——小白学数学系列
上学的时候，设计专业的老师往往是这样的剧情：
本来每周交作业交一份。可是老师规定如果上一次缺了，那么惩罚你，要求上一次没交上了的份额翻倍（所以这次交本来的1+上周的份2）！如果连续两次不交上来，那么上一次的是翻倍了，上上次的还得再翻倍（所以这次交本来的1+上周的份2+上上周的份4）！而且很严格，要求课程结束时补交清算，不能不了了之！（想死）
有趣的是，学生每一周能不能完成还是随机的，一半一半的概率。（为什么？你问我，我问天。。。作业太多太多，能不能交的上看天。。。是很好的随机事件！）
那么请问，当这个课程长度为2周、3周、4周时，平均交了多少份作业？（问的相当于“概率论的期望”）
如果这个课程长达10周时，平均要交多少作业？ 如果这个课程长达20周时，平均要交多少作业？
首先，我们看一下最简单的情况开始：只有两周时，首次出现第一周交不交影响“罚不罚”的问题，所以要分情况讨论：
接着，如果有三周长。会首次出现不交作业两次，需要分开讨论：
1）两次不是连着的，比如是第1周和第3周不交，但是第二周我交了作业，每次只罚了翻倍；
2）两次是连着的，很不走运，比如第一第二周、或者第二第三周不交，那么就产生翻倍再翻倍的惩罚了；
再接着，如果有四周长。会首次出现不交作业两次、三次的，需要分开讨论：
1）不交作业不是连着的，每次只罚了翻倍；
2）不交作业是连着的，就产生翻倍再翻倍的惩罚了；
再接着，如果有五周长。会首次出现不交作业三次、四次的，需要分开更多的讨论：
1）不交作业是全部不连着的，每次只罚了翻倍；
2）不交作业是全部连着的，就产生翻倍再翻倍的惩罚了；
3）不交作业没有全连、全不连的，多情况讨论；可能先不连，后面连着，也可能先连着，后来不连着..............
再这样下去，交作业也疯，不交作业也疯了。。。
不如做个统计表，看看是不是有“规律”（递归性、线性）？
当把n周平均期望作业总量Qn，做成平均平摊到每一周中Qn/n，居然线性了，差是一个固定值！
所以找到了规律：Qn/n是线性的，所以Qn对于n是二次函数！
所以10周后，期望为平均交了总共37.5份作业
20周后，期望为平均交了总共125份作业！天啊，难怪想死
其实，换个角度看，从概率论角度，不严密地思考：
可以认为从n 周到n+1周，只是每次加了一个与第几周周号无关的“一周”，所以从n-1周到n周，与从n 周到n+1周，是等效的过程！等效的过程，说明一定存在（“不严密”指的就是在这，我不证明其“存在性”，因为“显而易见”、“同理可得”、“容易证明”.......柯朗的台词)递归式！
所以领Qn/n=F(i=n)+Qn-1/n-1和Qn+1/n+1=F(j=n+1)+Qn/n中的F(i=n)=F(j=n+1)，所以
Qn/n-Qn-1/n-1=Qn+1/n+1-Qn/n；
所以Qn/n-Qn-1/n-1=固定值！
由于Q2=3.5，Q3=6，代入得F(i=n)=1/4;
所以顺利记得通项公式！Qn/n=1/4*n+Q2/2
Qn=1/4*n^2+5/4*n
后续：当n周时，你总共交多少份作业的概率呈现“泊松分布”！
