人间之花的几何学
女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
前文回顾： 天堂之花的几何学
前文《天堂之花的几何学》介绍了花卉图案的几何结构，此文拆解自然花卉的几何结构。编译自彼得史蒂文斯的一本古老的书《大自然中的模式》（Patterns in nature）。
观察不同类型的植物叶序或叶片排列，我们很容易看到图1描绘的交替分枝模式，即叶片生长在茎的两侧，围绕着茎旋转，或许已经进化成螺旋形。进化也可能朝着相反的方向发展，也就是说，螺旋模式可能产生了另一种模式。现在让我们来看看螺旋图案的分生组织，因为该图案的生长符合斐波那契级数，因此引起了人们的浓厚兴趣。
图1
图2展示了一棵芹菜的横截面，截面在其分生组织上方，我们可以看到茎秆堆积的方式，它们以漩涡的方式相互重叠。如图3所示，一条逆时针螺旋线a和两条螺旋线b叠加在一起勾勒出芹菜茎的轮廓c。在图中，螺旋线在茎秆之间，但它们也可以穿过茎秆的中心。在任意一种情况下，我们都会发现一个螺旋叠加在两个螺旋之上。
图2
图3
图4是芹菜茎秆的示意图，按其生长顺序标注。
图4
螺旋模式之所以出现，是因为叶片一次发育一片，每片叶子都在现有叶片之间最大的空隙中生长。看看芹菜茎的平面图，我们看到茎3适合于茎1和2之间的间隙，茎5适合于茎2和3之间，茎8位于茎5和6之间等等，所以每个新生的茎都生长在空间最大的地方。
一个不太明显的观察结果是，在茎秆的嵌套中，新茎秆生长在一对老茎秆上，因此，在平面图中，新茎秆的中心更接近最老茎秆的中心，而不是较新茎秆的中心，例如，我们看到茎3比茎2更接近茎1，茎6比茎3更接近茎4，以此类推。这种定位是自动发生的；茎秆中较老的一个位于较低位置，这样新茎就会生长在它上面。
图5展示了在一棵小山楂树上生长的棘刺的螺旋结构。如果它以螺旋式上升，围着茎转两圈，就会穿过5根刺，来到你开始的那根刺的正上方。这种特殊的植物轴通常用分数2/5表示，分子描述绕茎的次数，分母描述你经过的叶子、树枝或刺的数量。苹果、橡树和杏具有相同的2/5模式的植物轴；沉香、榉树和榛子的植物轴为1/3；车前草、杨树和梨的植物轴为3/8；韭菜、柳树和杏仁的植物轴为5/13。这些分数的分子和分母是斐波那契数列中的项1, 2, 3, 5, 8, 13,……虽然分生组织的检查显示指定的叶子或分支彼此之间并不完全一致，但它们非常接近，足以证明斐波那契分数在描述植物和树木的生长模式方面是有用的。
图5
在图6的复合螺旋中，斐波那契数列以一种更加戏剧性和精确的方式出现。在这些例子中，分数的分子和分母给出了顺时针和逆时针螺旋线的数量。图2的芹菜的叶序为1/2，图6a中的菠萝和图6b中的松果的叶序趋近性为8/13，这两种植物的小花或鳞片都有向一边螺旋的8行，而向另一边螺旋的13行。其他种类的松果的叶序为2/3,3/5或5/8。图c雏菊的叶序序为21/34，与图d向日葵的叶序完全相同，但55/89和89/144在向日葵中也很常见，Daniel T. O'Connell曾种植过一株叶序为144/253的祖父向日葵。
图6
这些分数都是由斐波那契数列的连续项组成的，原因是它们都是同一螺旋生长模式的变体，它们都是芹菜的变体。
由此，我们可以找出一种画这种螺旋线的几何方法，一张图就能描绘出所有的斐波那契分数。如图7，借助极坐标系，我们可以画出一系列点，点的半径呈等比数列关系，公比为1.2，第一个点的半径是1，第二个点就是1.2，第三个点就是1.44，以此类推。每两个点之间所夹的角为黄金角137.5°。右边的表格体现了这些点的极坐标（1,0°）、（1.2,137.5°）、（1.44,275°）……
图7
你或许会问为什么是137.5°这个特殊的角度？因为它与植物组织有关系？不是的。这个角度只是将这些点以适当关系排列起来，以便每个点与前一个旧点形成一个小角度，与新点形成一个大角度。这种关系在植物的分生组织中非常自然地产生，这是每根茎与其他茎的间隙相匹配的直接结果，但是要在二维图中画出这种关系，我们必须使用一些数学方法。凑巧的是，接近137.5°的特殊角度是360°/1.618。因此，角度对于黄金分割和斐波那契数列有一定的意义，但是生长中的植物当然不关心这些问题。植物不需要数学，它只需要在空间最大的地方长出茎梗，我们引入数学是为了用二维图来描述生长的三维模式。
图8就是由这些点所绘制的螺旋线。总的来说，我们可以通过它们画出1、2、3、5、7、8、11、12和13个螺旋线组。有趣的是，我们无法通过这些点画出4、6、9和10个螺旋线组，它们不合适，读者可以自行尝试。
图8
画完螺旋线之后，图9展了我们如何将它们叠加在一起。单螺线与双螺线叠加，就形成了图3中的芹菜截面。我们还可以2个螺线与3个螺线叠加，3个螺线5个螺线叠加，5个螺线8个螺线叠加，8个螺线13个螺线叠加，形成的图案颇似花卉。因此，通过相同的点阵列，我们绘制了斐波纳契分数为1/2、2/3、3/5、5/8和8/13的复合螺线。我们还可以绘制其他斐波纳契螺线，比如21个螺线和34个螺线叠加，等等。
图9
正如图9a中植物轴为1/2的复合螺旋图案看起来很像芹菜的图案一样，我们可以修改图9e中植物轴为8/13的螺旋图案，使其看起来像松果图案，只需要压缩螺旋线，使之更紧凑就行了。
有一点值得注意，图7中的点是通过使用137.5°的"斐波那契角"产生的，这标志着我们在许多生长的植物中发现的螺旋线的交叉点。尽管137.5°这个特殊的角度对于布局二维点阵非常重要，同时产生了1、2、3、5、8、13等契合斐波那契数列的螺旋线组，但植物本身并没有利用该角度或该角度所暗示的生长精度，它只是在茎顶周围连续生长茎秆或小花，以便每个都适合空隙。植物不爱斐波那契数列，它不通过使用黄金分割来寻求美感，它甚至不计算它的茎秆，它只是把茎秆放在它们有最多空间的地方。所有的数学之美都是简单的生长系统与其空间环境互动的自然副产品。
所以，主不在乎。
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