音阶与频率
人耳能分辨的频率范围是20hz-20000hz。
人耳能分辨的最小频率差是2hz，也就是能听出100hz和102hz的区别，但不能听出100hz和101hz的区别。
人耳在高音区的分辨能力迅速下降。
一组声音的频率如果按照f，2f，4f，8f..的等比规律排列，人耳听起来会觉得音高差相等。
从f到2f，就是一个“八度音程”。一首歌升高一个八度，听众会觉得音高变了，但旋律本身并没有变化。
我们不能只用f, 2f, 4f来演奏，还需要找一些f-2f中间的音阶。
五度相生律
一根弦，将频率设为F。如果按住弦的中点，那么弦长变为1/2，频率变为2F。
如果按住弦的1/3处，得到两段弦长1/3和2/3，对应频率为3F和3/2F。
同理按住弦的1/4处，得到两段弦长1/4和3/4，对应频率为4F和4/3F。
3/2F和4/3F是与主音F最和谐的音阶(除了八度音程2F之外)，这样我们找到了2个不错的音阶。
继续按住弦的1/5或1/6处，得到的5/4F和6/5F却和F不怎么和谐，探索失败。
换一个方向，既然F和3/2F和谐，那么3/2F和3/2 * 3/2F = 9/4F也应该和谐。
但是9/4F > 2F超出了范围，那么给它降个八度，1/2 * 9/4F = 9/8F 应该和3/2F近似和谐。
按照这个思路，还可以继续找到27/16F, 81/64F, ….
找到什么时候停止呢？理想的情形是到某一步时，正好等于F的某个八度音程。这样形成一个闭环，环内的各音阶和谐共处，其乐融融。
但理想的状态是达不到的。只好取近似(3/2)^5约等于7.6，四舍五入近似认为是8。
这样“按3/2的比例找和谐音”共执行了5次，加上F和4/3F，一共是7个音。按从小到大排列是：
F, 9/8F, 81/64F, 4/3F, 3/2F, 27/16F, 243/128F
3/2这个比例叫做“纯五度”，这种音律就叫做“五度相生律”。
类似地，4/3这个比例叫做“纯四度”。
这7个音阶可记做C、D、E、F、G、A、B。
各音阶之间有两种比例关系：9/8，称作全音；256/243，称作半音。
纯律
纯律的目的是让各音阶与主音的频率尽可能简单，不要像五度相生律那样出现243/128这么大的数字。
纯律提出了7个“自然音阶”，分别是：
F, 9/8F, 5/4F, 4/3F, 3/2F, 5/3F, 15/8F
纯律使得各音阶之间的比例变复杂了，除了9/8还有10/9，16/15等。音阶之间不够和谐动听。
十二音阶
还是按照五度相生律的思路，通过计算，发现(3/2)^12约等于129.7，近似128。所以可以将“按3/2的比例找和谐音”的方法再执行五次，得到5个新的音阶：
2187/2046F, 19683/16384F, 729/512F, 6561/4096F, 59049/32768F
这5个新的音阶记做C#、D#、F#、G#、A#，或者Db、Eb、Gb、Ab、Bb。
钢琴上的白键对应的是原来7个音阶，黑键对应新的5个音阶。
这12个音阶几乎构成一个“等差音高序列”，它们之间的距离几乎相等。
但它们之间的距离毕竟不是相等的。如果转调，比如从C~高音C转到D~高音D，旋律就会发生变化。
十二平均律
按照“3/2的比例找和谐音”的方法找到的音阶虽然与主音和谐，但是音阶之间的距离终究不能完全相等。
换一种思路，假设音阶之间的频率比例为p，那么音阶可以写作：
F, pF, p^2F, p^3F,… p^11F, p^12F
其中F到p^11F是我们需要的十二音阶，p^12F应该等于2F。
也就是说p^12=2，通过开方可以算出p越等于1.059。
由此可以得到间距完全相等的十二音阶，这种新的音律叫做“十二平均律”。
鱼与熊掌不可兼得。十二平均律是音阶的间距相等，代价便是C和G不再是严格的3/2比例，破坏了“纯五度”。
不过这种破坏并不明显，新的G:C=1.498，和原来的1.5差别不大。新的F:C=1.335，和原来的1.333也挺接近。
十二平均律基本上保留了五度相生律的重要特性，又用等间距完美解决了转调问题。
现代钢琴一般首先确定A4=440hz（中央C右侧的第五个白键），然后根据十二平均律定出其他键的频率。
和弦
两个白键之间如果有两黑一白，说明间隔四个音程，频率比约为1.26，近似5：4，称为大三度。
两个白键之间如果有一黑一白，说明间隔三个音程，频率比约为1.19，近似6：5，称为小三度。
大三和弦：根音与三音是大三度，三音与五音是小三度，三个音频率比近似4：5：6，最小公倍数60.
小三和弦：根音与三音是小三度，三音与五音是大三度，三个音频率比近似10：12：15，最小公倍数60.
增三和弦：根音与三音、三音与五音都是大三度，三个音频率比近似20：25：32，最小公倍数800，音响粗糙不和谐。
减三和弦：根音与三音、三音与五音都是小三度，三个音频率比近似5：6：7，最小公倍数210.
调式
虽然现在有12个音阶，但不是每次都要全部用到。
从中选取若干音阶，根据音阶之间的距离不同，作曲给听众带来的感觉也不同。这就可以表达不同的情绪。
世界各地有不同的调式，常见的比如大调和小调。
大调音阶由七个音组成，其中第三、四级之间，七、八级之间是半音，其他相邻两级之间是全音，音阶结构“全半全全半全全”。
比如C大调（自然大调）：C、D、E、F、G、A、B；
G大调：G、A、B、C、D、E、F#。
小调音阶也由七个音组成，特征表现在主音上方的小三度，音阶结构“全半全全半全全”
比如a自然小调：a、b、c、d、e、f、g
区分大小调，主要看主音，一般是乐曲的终止音。
调式里的和弦
如果没有调式限制，以12音阶的任一个为主音，都可以找到对应的大三和弦、小三和弦、增三和弦、减三和弦。
但是调式并不包括和弦里的所有音阶，所以调式里出现的是和弦的子集。
以C大调为例，以每个音阶为根音可以得到：
大三和弦：135CEG，461FAC，572GBD
小三和弦：246DFA，357EGB，613ACE
减三和弦：724BDF
