矩阵

矩阵的等价

,

相似

,

合同？

(1)

A

与

B

等价

:

A

可以经一系列初等变换得

B



PAQ

B





(

)

(

)

r

A

r

B



(

,

A

B

同型

,

,

P

Q

可逆

.

)

判断等价只需同型且秩相等

.

(2)

A

与

B

相似

:

1

P

AP

B





,

P

可逆

.

相似有四个必要条件

:

秩相同

,

特征值相同

,

特征多项式相同

,

行列式相同，

如何判断两个一般的矩阵是否相似，

考研大纲并不要求，但是如果

,

A

B

相似于相同的对角阵，则由相似关系有传递性知

,

A

B

相似

.

(3)

A

与

B

合同

(

仅限于对称矩阵

)

:

T

C

AC

B



(

C

可逆

)



A

与

B

的

正负

惯性指数相同

.

判断合同前提都是

实对称矩阵

，然后判断正负特征值的个数是否完全相同，也即

正负

惯性指数相同即可

.