洞穴，自然数和热量

一

有一天，看完动画片，小孩说：洞穴都有一个入口和一个出口。我：入口和出口也可能是同一个哦。

然后……突然想到自然数定义里的一条。

皮亚诺用符号逻辑定义了自然数，被称为皮亚诺公理。一共五条，第四条避免了循环，就是后继数是持续往后的，不等于前面的数。

针对中学生的科普书里，为了说明这个公理，说要玩“假装不知道的游戏”，也就是，你要假装此前并不知道什么是自然数，不知道其他任何数学公理。就……很为难作者，好像也有点为难读者……

这个定义，是在自然数被使用了几千年以后提出的。重点在于符号逻辑，建立了这样一套体系来描述数学里的各种概念。另一个让人震惊的事是，皮亚诺他……还生活在20世纪。去世时是1932年。

总之，在19世纪要结束的时候，皮亚诺创建了一个自然数的定义。陶哲轩在他的实分析教材里，也首先讲这个公理。先定义自然数，然后定义加法、减法、乘法、除法，和模。然后是其他。

在这本教材的前言里，他写到，他的学生们很困惑，有一名学生说，他很难向那些没有学习过高等实分析课程的朋友解释清楚两个问题——

（a）为什么当自己还在学习如何证明有理数只能为正、负或者零时，那些学习非高等实分析课程的学生已经在学习如何区分级数的绝对收敛和条件收敛；

（b）即便如此，为什么感觉自己的家庭作业要比那些同学的更难。

另外一位学生也苦恼地说，尽管她很清楚为什么一个自然数n除以一个正整数q可以得到一个商a和一个小于q的余数r，但是要证明这个事实对她来说非常困难。

对普通人来说……当然更难。甚至搞不清楚他们在干什么。毕竟，我们不需要这种“严谨性”。

对严谨性这个事，数学家们已经讨论和争论了很久很久。牛顿和莱布尼茨17世纪发明了微积分以后200多年，人们不断从各个角度讨论、解释、批判无穷小量和极限。就像此前为虚数，复数、无理数争论一样。魏尔斯特拉斯给出了一个处处连续但处处不可导的函数，又创造了ε-N，ε-δ语言，提供了一种合适的形式，也已经是19世纪末。

相容性也是。皮亚诺去世于1932年，哥德尔不完备定理前一年才出现。简单的说就是，在一个形式系统中，用形式表达出的数学问题，不一定能用本系统内的公理和规则来判定。有数学家把这个称为“打开了潘多拉之盒”。

几乎所有的概念、定义、计算方法，都在争论中不断发展。人们边用，边补充、改善。在纯数学和应用数学中来来回回，在直觉主义和形式主义中反反复复，在数学和哲学、语言学、物理学中穿梭。跟所有学科一样，数学家们互相辩论或吵架时也相当犀利甚至毒舌，金句层出。

所以那本《数学简史》的副标题是“确定性的消失”。就是，数学并不是一种客观、确定的东西，事实上，数学家关于“什么是数学”仍争论不休。当然，先从定义入手是没错的。

二

加州理工有一位物理学家讲：对于宇宙中如此深刻的一个概念，波函数这个名字真的太蠢了。

对普通人就……更不友好了。

波函数描述的是微观层面上的粒子可能的状态，毕竟我们根本观测不到。把它可能位置的概率看成一种波，这种波是可以用函数来表达的。

量子力学的科普，通常都会把概念可视化，似乎这样就容易懂。视频里，波倒是波（呈现波纹），概率也分布得很明确（呈现轨迹），甚至还有粒子自旋方向的图说。似乎让你觉得，要理解1/2自旋，或者3/2自旋，要想象一颗实在的粒子正在朝什么地方转来转去，想不出来就理解不了量子力学——这……难道不是个误会吗？

我感觉，它本质上并不是一种可以视觉想象的存在，只是一个抽象的数学概念。

但用几何概念理解数学，是一种传统。甚至开始的时候，是唯一的正统。

最开始，从几何上认识不了的数学都不被认可。也就是不符合日常现实，或者你在实际生活中想象不出来那些。所以很多人觉得非欧几何没有意义。但无理数，复数之类，用几何来解释，就很容易理解。

后来，代数和分析的形式越来越复杂，描述性越来越好，能解决的问题也多，有时候就可以直接从代数里发现新的可能没有想到的“结构”和“旋转”，这种很几何的描述。毕竟，光是数字十分不直观。

人们曾经觉得，几何是有逻辑的，代数是没有逻辑的。所以不以几何为基础的，不是数学。至于逻辑本身，有数学家还讽刺说：逻辑是不可战胜的，因为要反对逻辑，还得使用逻辑。

可是如今当然不是这样。

要理解粒子可能的状态，靠实际的空间想象……对我而言，不说隔靴搔痒吧，至少是……刻舟求剑，缘木求鱼？看，已经要胡言乱语了。

我，还是老老实实地，以皮亚诺的形式，用魏尔斯特拉斯的语言，从微积分开始，认识傅立叶、薛定谔，去理解不像粒子的粒子，去体会不是肉体所在空间的空间吧。

三

在冬天，很容易理解太阳崇拜。

太阳似乎可以解决一切问题。南边阳台的温度比别的房间要高15度，好几米的落地玻璃给人一种安全感。

这种时候，我就会端好一杯热奶，带上水果，把我“看不懂硬看”的倾向发挥到极致，把数学史当八卦一样看。

阳光带着热量，穿透玻璃，分子们在小空间里快速扩散，我暖和起来；同样的场景下，天才的傅立叶开始研究热，开始了这个“万物皆可傅立叶”的世界。