纽结理论的历史——从莱布尼茨到麦克斯韦

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

莱布尼茨在1679年写道："我认为我们还需要另一种分析，直接处理位置问题"。他称之为 "位置几何学"（geometria situs）。位置几何学的第一个令人信服的例子是欧拉对哥尼斯堡七桥问题的解决方案（1735）。第一篇提到扭结的数学论文是由A. T. Vandermonde在1771年写的《Remarques sur les problemes de situation》。本文概述扭结理论的一些早期发展。

“当亚历山大到达戈尔迪姆时，他渴望登上雅典卫城，去看看戈尔迪乌斯和他儿子迈达斯的宫殿，看看戈尔迪乌斯的马车和马车的轭结.. ..除此之外，还有一个关于马车的传说，说谁解开了枷锁的结，谁就会统治亚洲。这个结是用山茱萸皮做的，你看不清它从哪里开始，从哪里结束。亚历山大不知道如何解开这个结，但又不愿它被别人解开，以免在群众中引起骚乱；有人说他用剑砍断了绳子，割断了绳结，说绳子已经解开了——但阿里斯托布说他拔出了杆子，用一根插销穿过杆子，把绳结绑在一起，这样就把轭从杆子上取了下来。我不能满怀信心地说亚历山大究竟对这个结做了什么，但他和他的侍从离开马车时肯定带着这样的印象：关于解开这个结的预言已经实现了，事实上那天晚上有雷电，这是来自天堂的另一个征兆；所以亚历山大在感恩节第二天向任何显示出迹象和解开这个结的方法的神灵献上了祭品。”

[Lucius Flavius Arrianus, Anabasis Alexandri, Book II, c.150 A.D., [Arr]] 。

类似的叙述，显然是基于同样的原始资料，是由Chareonera的普鲁塔克(公元46 - 122年)给出的。他在他的《生活》中写道(第271页):

"接下来，他进军皮西迪亚，征服了他所遇到的任何抵抗，然后使自己成为菲戈里亚的主人。当他占领戈尔迪姆时[公元前333年3月]，据说那里是古代国王米达斯的故乡，他看到了著名的战车，它被山茱萸树的树皮固定在车轭上，并听到了所有野蛮人都相信的传说，即命运决定，解开这个结的人注定要成为整个世界的统治者。根据大多数作家的说法，这个结是如此精心地交织和盘绕在一起，以至于它们的绳头被隐藏起来：因此，亚历山大不知道该怎么做，最后他用剑割开了这个结，于是许多绳头就出现在眼前。但据亚里士多德说，他很容易就解开了这个结，方法是拔掉将轭固定在战车杆上的销子，然后把轭本身拉出来。"

在这一章中，我们介绍了现代纽结理论发展的思想史。当报道XX世纪以前的历史时，我们会更加详细。随着时间的推移，我们更加精挑细选，强调与链接的Jones不变量相关的发展。

从人类历史的黎明开始，绳结就一直吸引着人们。我们不禁要问，是什么原因让一个生活在公元前1700年左右的安纳托利亚、与美索不达米亚人交换货物的商人选择辫子和结作为他的印章标志；图1.1。然而，我们可以猜测，在公元前3500年左右发明适当的文字之前，就已经出现了以结和纽带为图案的邮票、圆柱体和印章。

图1.1：邮票印章，约公元前1700年（大英博物馆）

在[锤柄海马石印章]的八角形底座上，围绕着一个象形文字铭文的图案（大部分被抹去）。四个侧面是空白的，另外四个侧面刻有这个时期典型的精致图案（在叙利亚也很流行），与祭祀场景交替出现......（[Col], p.93）。

我不知道任何公元前3500年以前的例子，但我将描述公元前3000年的两个发现。

据我所知，美索不达米亚以外最古老的例子是来自古希腊。美国古典研究学院在J.L.Caskey教授的指导下在Lerna进行发掘（1952-1958年），发现了两处丰富的粘土印记沉积。第二个沉淀物的年代约为公元前2200年，包含几个结和链接的印记 [Hig, Hea, Wie] （见图1.2）。

图1.2：来自Lerna的瓷砖之家的印章印记[Hig]

在黛安·沃克斯坦和塞缪尔·诺亚·克莱默[Wo-Kr]所著的《Innana》一书中描述了来自美索不达米亚乌尔的更古老的圆筒印模（约公元前2600-2500年）的例子（第7页）；图1.3说明了该文本：

“一条不会被魔法迷惑的蛇在树根上筑了巢。”

图1.3：带交错线圈的蛇形物

圆筒形印章。乌尔，美索不达米亚。皇家墓地，早期王朝时期，约公元前2600-2500年，青金石。伊拉克博物馆。照片由大英博物馆提供，UI 9080, [Wo-Kr]3

II.1 从赫拉克拉斯到丢勒

我们很想在古希腊数学中寻找扭结理论的起源（如果不是更早的话）。这样做是有道理的：一位名叫赫拉克拉斯的希腊医生，生活在公元一世纪，可能是赫利奥多鲁斯的学生或助手，他写了一篇关于外科医生吊带的文章45 。赫拉克拉斯解释了18种捆绑骨科吊带的方法，并给出了逐步的说明。他的作品之所以能够流传下来，是因为佩加缪的奥里巴修斯（Oribasius of Pergamum，约325-400年；使徒朱利安皇帝的医生）在四世纪末将其纳入了他的《医学集》。现存最古老的《医集》手稿是由拜占庭医生尼凯塔斯在十世纪制作的。《尼凯塔斯法典》在15世纪被一位杰出的希腊学者J.Lascaris从君士坦丁堡带到了意大利，他是一位难民。《尼凯塔斯法典》中赫拉克拉斯的部分没有插图，1500年左右，一位匿名艺术家在奥里巴苏斯的一份希腊手稿《医学藏书》中描绘了赫拉克拉斯的绳结（在图2.1中，我们复制了第三个赫拉克拉斯绳结的图画及其原始描述，即赫拉克拉斯的描述）。佛罗伦萨人Vidus Vidius（1500-1569）成为弗朗西斯一世（法国国王，1515-1547）的医生和法兰西学院的医学教授，他将《尼凯塔斯法典》翻译成拉丁文；其中还包含意大利画家、雕塑家和建筑师Francesco Primaticcio（1504-1570）绘制的赫拉克拉斯外科医生吊带图；[Da, Ra]。

图2.1：交叉套索

“在捆绑交叉的套索时，需要一根折叠成两层的绳子，左手握住绳子的两端，右手握住绳圈。然后缠绕绳圈，使绳索的松弛部分交叉。因此，套索被称为交叉套索。在绳索的松弛部分交叉后，将绳圈放在十字路口上，然后将绳索较低的松弛部分从绳圈中间拉起。因此，套索的结在中间，一边是环，另一边是两端。同样，在功能上，这是一个张力不相等的套索。”[Da]。

就绳结理论而言，赫拉克拉斯的文章应该被认真对待，即使它不是绳结理论本身，而是其应用。赫拉克拉斯的作品得以保存下来，并在文艺复兴时期重建他的结，这个故事在所有的科学学科中都很典型，为找回丢失的希腊书籍所做的努力为现代科学的发展提供了重要动力。在数学领域也是如此：现代微积分在十七世纪的开始可以追溯到重建阿基米德和其他古希腊数学家的失落书籍。只有牛顿和莱布尼茨的工作比他们的希腊前辈走得更远。

文艺复兴时期的伟大艺术家对绳结的兴趣有两个启发性的例子。达芬奇（1452-1519）的版画[Mac]和阿尔布雷希特·丢勒（1471-1528）的木刻[Dur-1, Ha]。

图2.2：莱昂纳多·达芬奇[Mac]的结，约1496年

二.2 扭结理论的曙光

我们认为，现代纽结理论源于戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(1646-1716)的推测，即除了微积分和解析几何之外，还应该存在一种“位置几何学”(geometria situs)，它只处理依赖于位置的关系(忽略大小)。在1679年写给克里斯蒂安·惠更斯(1629-1695)的信中，他宣称:“我不满足于代数，因为它既不能产生最短的证明，也不能产生最优美的几何构造。因此，有鉴于此，我认为我们需要另一种分析，几何的或线性的，它直接处理位置，就像代数处理大小一样”。

我不知道莱布尼茨是否有任何令人信服的属于位置几何学的问题的例子。根据[Kli]的说法：

"早在1679年，莱布尼茨就在他的Characteristica Geometrica中，试图制定几何图形的基本几何属性，用特殊符号来表示它们，并在运算下结合这些属性，以便产生其他属性。他把这项研究称为 "分析"（Analysis situs）或 "几何"（geometriasitus）。莱布尼茨设想了我们现在称之为组合拓扑学的东西，这一点他完全清楚。

伦纳德-欧拉（Leonard Euler，1707-1783）研究了第一个令人信服的位置几何学的例子。这涉及到哥尼斯堡（当时在东普鲁士）的普雷格尔河上的桥梁。欧拉解决了（并概括了）哥尼斯堡的桥梁问题，并于1735年8月26日向圣彼得堡的俄罗斯学院提交了他的解决方案（1736年出版），[Eu]。随着欧拉论文的发表，图论和拓扑学也随之诞生。欧拉在论文的开头说到：

"过去一直热衷于研究处理大小的几何学分支，但还有一个分支至今几乎不为人知；莱布尼茨首先谈到它，称它为 "位置几何学"（geometria situs）。这个几何学分支处理的是取决于位置的关系；它不考虑大小，也不涉及数量的计算。但是，对于属于这种位置几何的问题或解决这些问题的方法，至今还没有给出令人满意的定义"。

图3.1：哥尼斯堡的桥梁

纽结理论的诞生还需要等待35年。1771年，亚历山大·西奥菲勒·范德蒙德(Alexandre-Theophile Vandermonde, 1735-1796)写了一篇论文:《Remarques sur les problemes de situation》(关于位置问题的评论)，其中他特别把辫子和结作为位置几何的一个主题。范德蒙在论文的第一段写道:

无论空间中的线系有多曲折，人们总能得到计算其尺寸的表达式，但这个表达式在实践中用处不大。编织辫子、网子或打结的工匠关心的不是尺寸问题，而是位置问题：他看到的是线在那里交织的方式。

图3.2：范德蒙结

在我们对纽结理论起源的探索中，我们接下来到达卡尔·弗里德里希·高斯(1777-1855)。根据[stack，Dun]:

“高斯在他的论文中发现的最古老的笔记之一是一张日期为1794年的纸。它以“结的集合”为标题，包含十三个简洁的结的草图，旁边写着英文名字……另外还有两张带有绳结草图的纸。一个是1819年的；另一个要晚得多……”

1995年7月，我终于参观了哥廷根的旧图书馆，我看了1794年的结——事实上并不是所有的都画了——有些只是描述；附图10之一见图3.3。

图3.3：啮合结，1794年高斯的第10个结

高斯的笔记本里还有其他迷人的图画。例如，绘制在每个高度都有复杂坐标描述的辫子(图3.4；比较[EP-1，P-21])，并注意到这是编码打结的好方法。很难确定这幅画的年代；可以肯定的是，它是在1814年到1830年之间完成的，我猜测接近1814年。

图3.4

这是一个很好的编码方法（来自高斯的笔记本（Handb.7））。

还有一个神秘的“框架缠结”，见图3.5[Ga-1，P-29]，其解释还没有令人信服地给出。

图3.5：高斯笔记本的边框

在他的说明中（1833年1月22日），高斯介绍了两个结的连接数13。高斯的注解提出了对结理论的第一次深入的侵入；它确定了下面的两个连接数有很大的不同。

高斯的分析方法最近被Witten的纽结理论所振兴。[Wit]

詹姆斯·克莱克·麦克斯韦(James Clerk Maxwell，1831-1879)在其1873年的基本著作“电磁场论文集”[Max]中写道：“正是高斯发现了这个非常完整的东西，在描述闭合电流下的闭合曲线的同时，表达了在磁极上所做的功，并指出了两条闭合曲线之间的几何联系，这让他感叹自莱布尼茨、欧拉和范德蒙时代以来，位置几何学取得的微小进步。然而，我们现在有一些进展要报告，主要是由于Riemann，亥姆霍兹和利斯廷。“15 麦克斯韦接着描述了两条不能分开但高斯积分值等于零的闭合曲线；图3.6。

图3.6：麦克斯韦链接

1876年，O.Boeddicker观察到，在某种意义上，连接数是第二条曲线与第一条曲线所界定的曲面的交点个数[Boe-1，Boe-2，Bog]。赫尔曼·卡尔·布鲁恩(Hermann Karl Brunn16[BR])在1892年观察到，高斯认为的两分量链路的链接数可以从链路17的图中读出。如果链接有组件K1和K2，我们考虑链接的任何图，并将K1在K2下交叉的每个点计数，

为+1，

为−1。在K1在K2下的所有交叉点上，它们的和就是高斯连接数。

1847年对于纽结理论(图论和拓扑学也是如此)来说是非常重要的一年。一方面，古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫(Gustav Robert Kirchhoff，1824-1887)发表了他的电路基础论文[KIR]。它与纽结理论有着深厚的联系，然而这种关系是在大约一百年后才被发现的(例如，电路的基尔霍夫复杂性对应于由该电路决定的纽结或链节的行列式)。另一方面，高斯的学生约翰·本尼迪克特·李斯特(Johann Benedict Listing，1808-1882)出版了他的专著(Vorstudien zur Topologie，[LIS])。这本专著有相当一部分是关于结的。更早些时候，在1836年4月1日，李斯特在卡塔尼亚给他以前的老师“穆勒先生”写了一封信，信的标题是“拓扑”，题目是……(2)缠绕的结的路径；(3)格子中的路径[BRE-1，BRE-2，STAC]。清单特别说明了右手三叶结(

)和左手三叶结(

)是不等价的。后来的列表显示，8字结

和它的镜像

是等价的。19在[LIS]的引言中很好地描述了对高斯的感激之情：“在我们这个时代最伟大的几何学家的刺激下，他一再将我的注意力转移到这个主题的重要性上，在很长一段时间里，我做了各种尝试来分析与这个主题相关的不同案例，由自然科学及其应用给出。如果现在，当这些思考还没有权利要求严格的科学形式和方法时，我允许自己把它们作为新科学的初步草图发表，那么我这样做的目的是为了把注意力转向它的意义和潜力，并在这里收集重要的信息、例子和材料。我希望你们让我用“拓扑学”这个名字来研究这种空间图像，而不是用莱布尼茨的名字“几何位置”，提醒人们“测量”的概念，在这里扮演绝对从属的角色，并向另一种几何研究设立的“位置几何学“吐露心声。因此，拓扑学是指研究空间图像的模态关系，或研究点、线、面、物体及其各部分或其并集在空间中的连通性、相互配置和迹线的规律，而独立于测度和量的关系。通过与运动概念非常接近的“迹”概念，拓扑学与力学联系在一起，就像它与几何学联系在一起一样。当然，从量的角度来看，速度以及质量、动量、功率和运动力矩都没有考虑在内。相反，我们只考虑空间图像中运动或运动之间的模态关系。为了达到精确科学的水平，拓扑学将不得不将空间思考的事实转化为更容易的概念，通过使用类似于数学符号的相应符号，我们将能够按照一些简单的规则进行相应的运算。”(译文：M.Sokolov)

正如我们之前提到的，麦克斯韦在研究电和磁的过程中，对结和联系有一些思考（特别是受到刚刚出版的高斯作品集的激励）。现代结理论的起源应该与四位物理学家有关。赫尔曼-冯-亥姆霍兹（1821-1894）、威廉-汤姆森（开尔文勋爵）（1824-1907）、麦克斯韦和彼得-格思里-泰特（1831-1901）。我们可以引用泰特在爱丁堡的助手和后来的传记作者C.G.Knott[Kno]的话：

泰特对亥姆霍兹关于涡流运动的著名论文[[亥姆]；1858年]印象深刻。1867年初，他设计了一种简单而有效的方法来制造旋涡烟圈；正是在泰特的教室里观看这些烟圈的行为时，汤姆森被引导到了旋涡原子的概念上。在1867年2月18日向爱丁堡皇家学会提交的第一篇论文中[[Thoms]]，威廉-汤姆森爵士提到了此概念的起源。反过来，汤姆森的理论也是泰特理解结的结构的动力。用泰特的话说 我被汤姆森爵士的涡旋原子理论引向对结的形式的考虑，因此，至少在一开始，我采用的观点是按结的交叉点的数量来分类......。某些基本物质的光谱中的大量线条表明，如果汤姆森的建议是正确的，那么相应的涡旋原子的形式就不能被视为非常简单[[Ta]]。

图3.7：威廉·汤姆孙(开尔文)从1867年的结和链接

有一封1867年11月13日麦克斯韦写给泰特的有趣的信，这表明泰特正在与他的朋友[Kno, Lom]分享他对绳结的想法。麦克斯韦在他的一首押韵诗中写道（显然是指泰特）：

清理你的线圈上的疙瘩，

把它变成完美的辫子，

让回环和链接互相交织。

青山不改，绿水长流，在下告退。

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