托普卡普卷轴上的伊斯兰几何图案1：非同寻常的星形排列
女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
前文回顾：
计算机生成伊斯兰Zellij马赛克图案：几何天才的拼图游戏 葡萄牙历史遗迹中的对称
托普卡普卷轴是研究伊斯兰几何装饰的重要文献来源。本文给出了它的一些典型的星形图案的数学分析，说明了各种各样的建设方法。亮点包括一个结合9点和11点星的设计，以及另一个13点和16点星的设计。我们表明，通过利用模板侧面的反射复制模板来产生设计的实践限制了所产生的对称类型的范围。特别地，三重对称性的缺乏与矩形模板的专用有关。通过将传统上在正方形模板中看到的星形分布转换为等边三角形中的等效排列，我们产生了新的伊斯兰风格的三重对称设计。
1.介绍
伊斯兰几何艺术是一种独特的艺术，其特点是连锁的星形和多边形网络，在局部和整体范围内的高度对称以及各种形式的重复。这些设计通常以某种网格的形式展示出来，但是在最终产品中，大部分潜在的几何形状对观众来说是隐藏的，观众只能惊叹于互补形状的复杂相互作用。虽然构造的基本方法本身并不复杂，但它们能够作为几何游戏的一种形式进行精心制作和变化，这种灵活性提供了极其丰富的设计来源，只受设计师的想象力和独创性的限制。到了13世纪，艺术家们开始制作非常复杂的设计，包括看似不相容的星形的优雅组合，以及包含不同比例互补图案的设计。
虽然我们有一些手册记录了当时的几何形状，但没有当代来源解释伊斯兰艺术的设计原则。大师级工匠将他们的方法作为商业秘密进行保护，但他们确实以卷轴的形式进行记录，其中包含模板和其他图案制作备忘录。幸运的是，在伊斯坦布尔托普卡普宫的图书馆里保存了一件1500年左右的杰出作品。
托普卡普卷轴(手稿H.1956)是研究伊斯兰几何装饰的重要文献来源。它包含一系列绘制在独立页面上的几何图形，首尾相连，形成一个高约33厘米、长约30米的连续页面。它不是一本“如何做”的手册，因为没有正文，但它不仅仅是一本图案书，因为它显示了结构线。Necipoglu进行了一项详细的研究，考察了卷轴的艺术、历史和哲学背景，但她很少谈到个别图案或其构造的数学特性。她的书包含了卷轴的一半大小的彩色复制品，还包括注释，以显示照片中看不到的用铁笔在纸上刻划的结构线和标记。本文中对托普卡普卷轴编号图板的引用使用[15]中的编号。
卷轴上的图形混合了书法、用于建筑的设计(muqarnas、砖的图案和圆顶)，以及具有更广泛应用的二维几何图案的模板。我们将集中讨论后一类。当模板被重复使用以产生完整的图案时，它们会显示出高级的设计，显示出艺术和对风格的掌握，并且包括一些我在其他地方没有见过的图案。在这篇文章中，我提供了数学分析的一些更了不起的设计在卷轴，集中在星星图案与不寻常的性质。
2. 由反射产生的设计
很大一部分伊斯兰图案具有镜像对称。在一个图案上绘制所有的镜像线将它划分为多个区域，每个区域都可以用作模板来重新生成整个图案。只要镜面线不都平行，区域就是有限的。图1显示了7种可能性。左边和右边的拼块通过阴影来区分。拼块被标记以破坏它们固有的对称性；在(d)中，拼块本身是不对称的，所以不需要标记。
图1 拼块侧面反射产生的镶嵌效果。(a) pmm，(b) p3m1，(c) p4m，(d) p6m，(e) cmm，(f ) p4g和(g) p31m。
重复图案的对称性已经被很好地理解了。二维重复图案有17种对称类型，通常被称为墙纸群。在这篇文章中，我们只使用对称类型的标签——理解理论是没有必要的。对称性的解释及其在非数学家模式分析中的应用可以在[19]中找到。[1]中说明了许多伊斯兰教的例子，尽管读者应该意识到一些对称类型被错误地标识(例如，当模板携带具有非平凡对称的母题时，可能会出现这种情况)。Grunbaum和Shephard[8]使用模板和反射的属性来确定交错伊斯兰设计中不同形状的丝带组件的数量。
图1中的每个拼块都标有其对称类型。前四个设计是通过复制一个不对称的图案产生的，被称为原始设计。如果拼块上的装饰不是不对称的，设计的对称类型可能会改变。在图1(e)至(g)中，拼块装饰有旋转对称的图案。具有原始类型pmm的矩形拼块产生了另外两种布置：具有双重旋转对称的图案产生了cmm对称类型的设计；如果矩形拼块是正方形的，图案可能具有4重对称性，这导致p4g类型。如果原始类型p3m1中的等边三角形拼块带有具有三重对称性的图案，则该设计将具有p31m对称类型。
伊斯兰艺术中对称类型的频率分布极不均匀。在标准三角形、正方形或菱形格子的顶点排列合适的星形图案的简单方法产生了p6m、p4m和cmm对称类型——最常见的类型。相反，三重组p3、p3m1和p31m非常罕见。图2中显示了一些例子，但是前两个例子有些牵强。在(a)中，对称类型是p3，只是因为装饰标记将拼块分为两类——未标记的拼块(称为安达卢西亚图案)的类型是p6。(b)中的图案来自琼斯[11，Pl。44 #15]，在那里它被描述为“来自波斯手稿”；(c)是从Bourgoin的收集[2，Pl7].这种稀缺性部分是由于理论上的限制:许多伊斯兰镶嵌是等面的(在对称群下拼块传递)，并且不存在具有对称群p3m1的无标记拼块的等面镶嵌。[7]
图2 一些三重对称的伊斯兰图案。(a) p3， (b) p3m1和(c) p31m。
托普卡普卷轴中约40%的图板是二维几何图案的模板，多为星形图案。模板是矩形的，并且通过矩形侧面的反射来复制。当从模板创建设计时，只需翻转模板即可获得镜像拼块。一些设计具有对称类型p4m或p6m，在这些情况下，模板包含基础区域的一个以上的拷贝。这种通过反射矩形模板产生设计的偏好是排除产生三重对称的另一个因素。
3.具有对称性p4g和p31m的设计
继p6m、p4m和cmm之后，在伊斯兰饰品中发现的最常见的对称类型之一是p4g。如图1(f)所示，它的模板是一个带有四重旋转对称的图案。有两种常见的配置用于生成具有p4g对称性的星形图案：
(I)将星星放置在正方形的边缘上，使得每个星星的镜像线位于边缘上
(ii)将具有4n+2个点的星星放置在正方形的角上——星星沿着正方形的边缘钉到凹痕对齐。
作为每种类型的示例，图3(a)和(b)分别示出了卷轴的图板61和68a中的模板，图3(c)和(d)示出了它们生成的设计。图板61的设计简洁优雅：所有线条以90°交叉，线条改变方向的角度都是135°，区域只有三种形状:一个规则的{8/2}星形、一个有两个直角的五边形和一个“狗骨形”。图板81a是另一种类型(I)的例子；它使用不规则的7点星。具有类型(ii)配置的其他图板是59(具有6点星)、66和72c(都具有10点星)。
图3 托普卡普卷轴61和68a的对称群p4g设计
在Bourgoin [2]的p4g设计中，板170是具有规则7点星的类型(I)设计(其构造由Hankin在[10]中解释)，板27-30都是具有6点星的类型(ii)。卷轴图板59中的模板生成Bourgoin的图板27中的设计。
图4显示了使用等边三角形代替正方形作为基础来执行等效的构造是可能的。在(a)中，12点星形沿着模板的边缘放置，而在(b)中，9点星形放置在拐角处。在第二种情况下，我们可以使用任何具有6n + 3个点的星。(c)和(d)部分展示了他们生成的设计——在每种情况下，模板都旋转了90°。在土耳其马拉蒂亚的Ulu Camii(大清真寺)有一个传统的9角星设计，如图4(d)所示[4，16]。
图4 作者用对称群p31m的原始设计
卷轴的图板35显示了更复杂的设计(图5 ), p4g对称，包含8点和12点星。它不像其他图板那样是一个模板，而是显示了一大块设计，上面画了一条线，以说明如何将一个图案放入拱门。图6显示了两个更简单但相关的设计。它们包含排列在正方形格子(对称类型p4m)和三角形格子(p6m)的顶点上的相同的12点玫瑰图案，并且分别与Bourgoin板118和78非常相似。部分(b)中的阴影矩形是卷轴的图板63中的模板。部分(a)中的阴影正方形可用作图板35中设计的模板，在拐角处稍作修改后，显示图5可归类为类型(I)。
图5 使用托普卡普卷轴图板35中的对称组p4g进行设计
然而，图5的底层结构有一个更简单的解释。请注意，图6(a)中相邻12点星的中心确定了一个包含8点星的正方形，图6(b)中相邻星的中心确定了一个中间有3个分叉区域的等边三角形。这些区域如图7(a)和(b)所示；图板35可以通过根据图7(c)布置它们来构造。从这个角度来看，图板35是基于顶点类型为3.3.4.3.4的阿基米德密铺，12点星形以顶点为中心。
图6 正方形格子和三角形格子的顶点上排列有相同的12点玫瑰图案的两种设计。
图7 托普卡普卷轴图板35的结构
38号图板的设计也采用了类似的程序——38号图板是画卷中色彩最丰富、细节最详细的图板。这是一种两层模式的例子，在这种模式中，形成大尺度模式的路径网络被铺上小尺度模式。路径网络在图8中以白色显示——卷轴中的插图对应于右下四分之一。带有框架的矩形格式是典型的。在本例中，通过将图7(a)和(b)中的正方形和三角形的图案应用到图8中的白色区域，提供了小比例的图案。在卷轴中，38号图板的颜色是一致的:规则的星星有浅蓝色的中心，周围环绕着黑色的风筝，12点玫瑰有白色的花瓣，8点玫瑰有黄色的花瓣，不规则的5点星星是红色的，其他区域是淡粉色的。大多数区域还带有黑色图案，看起来有点像雪花或鸟的脚印。
这类工作通常在低图层执行，图8中灰色区域被抬高，并用装饰性拼块覆盖，较小的比例图案沿着中间的通道运行。图9显示了一个来自伊朗伊斯法罕的Darb-i Imam(伊玛目的神社)的例子。
图8 托普卡普卷轴图板38的结构
图9 伊斯法罕Darb-i Imam的两层设计。照片IRA 0903来自大卫·韦德的收藏[17]。
卷轴的图板49是这种类型的另一个例子，其他五个图板包含不同形式的2级模式——它们在[5]和[6]中讨论。
4. 设计有不同寻常的星星组合
在比较简单的星形图案中，星形和玫瑰图案就像晶格中的顶点一样分布。一些星星的组合非常自然地适合这种方法:例如，8和12点的星星排列在正方形格子上，就像国际象棋棋盘上的黑白方块，或9和12点的星星排列在三角形格子上。其他的星星组合的对称性似乎与彼此不兼容，也与标准的网格和格子不兼容，但艺术家们仍然找到了将它们纳入优雅设计的方法。
图10(d)示出了由托普卡普卷轴的图板42产生的设计。它的构造可以解释为“多边形接触”(PIC)方法结合9点和11点星的经典应用。(Bonner [4]也讨论了这种模式，Lee(2009年5月，私人通讯)已经表明，存在2n-1点和2n+1点的星组合的类似设计序列。)PIC构造具有底层镶嵌，其中许多拼块是正多边形。这种设计是通过将星星图案应用到正多边形上，然后将形成星星的线条延伸到相邻的拼块上，直到它们遇到附近星星产生的类似线条。
图10(a)中的部分平铺是基于一个规则的11边形，它具有从其角向外辐射的辐条。这些辐条单元被组装成之字形列，在页面上以镜像对的形式排列。辐条与11边形的边长相同，因此连接的六边形是等边的。仍然需要扩展平铺以覆盖由虚线包围的中心区域。相交于P点的四条线中的每一条都穿过11边形之一的中心和顶点。这两条线之间的夹角约为81.8度。在图10(c)中，一个规则的九边形被插入到空间中，其中心在p处。它的顶点不在四个半径上，因此最终设计中的星形图案不会完全对齐，但误差小于1。如图所示，通过连接9边形和11边形的顶点来完成PIC构造的平铺。
为了生成图案，在每个立体边缘的中点对称放置一对线条；这些线被延长，直到它们遇到其他类似生产的线。如果仔细选择线对之间的角度，箭头图案的尖端会接触虚线，并在六边形的中心会合。这产生了图10(b)。图10(d)显示了完成的设计。从9和11边形产生的星形图案是规则的，但它们的玫瑰状延伸来自不规则五边形和六边形的连接细胞结构，是扭曲的。
图10 托普卡普卷轴第42幅的9点和11点星形图案。
PIC技术由Hankin[9]提出，Bonner[3,4]开发和改进，Kaplan[12,13]将其计算机化，并作为在线工具[14]提供。当平铺中的规则多边形在最终设计中形成星形图案时被正确对齐，这是当它们有共同的边时保证的属性，例如，计算机应用的严格PIC方法就能很好地工作。然而，当它们没有对齐或由更小的不规则多边形组成的大矩阵补充时，对方法进行小的调整，例如将交叉点移离边缘的中点或改变入射角，可以改善设计的视觉外观。在滚动图中，图板42显示的设计区域对应于图10(c)中的阴影矩形。注释显示了连接恒星中心的辐射线，类似于图11(b)。这表明中世纪的艺术家也会进行调整，他们更重视排列而不是规律性。
图11(c)显示了由托普卡普卷轴图板30生成的设计。顶点类型4.8.8的阿基米德平铺(图11a)提供了支撑星星排列的几何结构:在顶点的中心有13个点的星星，在八边形的中间有16个点的星星。16点的星星是规则的，而13点的星星不是——相邻尖峰之间的角度不是恒定的。正八边形的角是135度;在图中，这个角被13点星的5个尖刺所跨越。如果恒星是规则的，这个跨度将是5/13×360≈138.5。为了掩盖这种差异，位于八边形中的尖刺比它们应该靠近的位置更近。相应地，位于正方形中的尖峰之间的距离比它们应有的距离更远:30(12点星星的角度)而不是大约27.7。这种对规律的偏离只有在经过一番思考后才会注意到；图案有很多其他的对称，这种局部对称的缺乏不会引起眼睛的注意。
图11(b)显示了欺骗是如何产生的。三角形ABC是等腰直角三角形，AF是BAC的平分线，FG垂直于AC。在基本的阿基米德镶嵌中，两个八边形之间的边对应于BF，八边形和正方形之间的边对应于FG。16点星形以A为中心，13点星形以f为中心。在PIC结构中，两个星形的比例将通过绘制一个正16边形和一个正13边形来确定，这对应于图中DE线的中间部分。利用这个假设，我们可以推导出直线DE以tan(180/16) : tan(180/13) ≈ 5 : 4的比例划分直线AF。从A向DE线发出的光线以11°的角度等间距分布，使得16点星成为规则的。它们遇到从F发出的光线，这些光线与光线FB、FC和FG一起确定了13点星的几何形状。这与[15]中对图板照片进行的测量非常一致。仍然需要确定16点玫瑰的几何形状，特别是以a为中心的圆弧的半径。选择较大的一个似乎是为了给出关于DE与AF相遇的点的局部对称的最佳幻觉。在卷轴中，图板30是通过在线AC上反射图11(b)而形成的正方形模板。Necipoglu的注释显示，卷轴上未连接的线条从恒星中心向外辐射，如图所示。
图11 托普卡普卷轴第30幅图中的13星和16星图案
作为最后一个例子，图12显示了作者的原始设计，具有难以捉摸的p3m1对称类型。这三种三重旋转中心与6点、12点和18点恒星有关，9点恒星横跨镜像线——所有恒星都是规则的，并与它们的邻居完全对齐。虽然它的建造遵循了许多伊斯兰几何艺术的原则，但是它或者图4中的设计应该被视为伊斯兰艺术吗？
图12 一种原始设计，具有包含规则6-、9-、12-和18-点星的对称类型p3m1。
设计结构是一种文化风格传统的重要特征。一些人类学家使用对称类型作为与部落身份相关的客观确定的属性[18]。在对称类型的频率分布中观察到的文化差异可能是有意识选择的结果，以避免邻近部落使用的设计，从而保持部落的身份，或者是构造方法的某些方面的无意识结果，这种方法偏爱一种对称类型而不是另一种。就伊斯兰几何图案而言，这种风格的基本原则包括图案的直线性(星形和多边形)、等分(正多边形、重复)、对称性和复杂性。仅仅这些特性就足以赋予伊斯兰艺术一种与众不同的品质，使其区别于其他文化。缺乏具有三重对称性的图案可能是由于对矩形模板的偏好这样简单的原因，这本身可能是大多数应用是针对矩形表面的事实的结果。如果使用三角形模板可以被接受为传统技术的一种风格上适当的延伸，它为许多新模式的创造开辟了道路。
参考文献
[1] S.J. Abas and A.S. Salman, Symmetries of Islamic Geometrical Patterns, World Scientific, Singapore, 1995.
[2] J. Bourgoin, Les Elements de l’Art Arabe: Le Trait des Entrelacs, Firmin-Didot, Paris, 1879. Plates reprinted in Arabic Geometric Pattern and Design, Dover Publications, New York, 1973.
[3] J. Bonner, Three traditions of self-similarity in fourteenth and fifteenth century Islamic geometric ornament, in Proceedings of the ISAMA/Bridges: Mathematical Connections in Art, Music and Science, R. Sarhangi and N. Friedman, eds., Granada, 2003, pp. 1–12.
[4] J. Bonner, Islamic geometric patterns: Their historical development and traditional methods of derivation, unpublished manuscript.
[5] P.R. Cromwell, The search for quasi-periodicity in Islamic 5-fold ornament, Math. Intelligencer 31 (2009), pp. 36–56.
[6] P.R. Cromwell, Islamic geometric designs from the Topkap Scroll II: A modular design system, J. Math. Arts (2009), in press.
[7] B. Grunbaum and G.C. Shephard, The 81 types of isohedral tilings of the plane, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 82 (1977), pp. 177–196.
[8] B. Grunbaum and G.C. Shephard, Interlace patterns in Islamic and Moorish art, Leonardo 25 (1992), pp. 331–339.
[9] E.H. Hankin, The Drawing of Geometric Patterns in Saracenic Art. Memoirs of the Archaeological Society of India, Vol. 15, Government of India, Calcutta, 1925.
[10] E.H. Hankin, Some difficult Saracenic designs II, Math. Gazette 18 (1934), pp. 165–168.
[11] O. Jones, The Grammar of Ornament, Messrs Day and Son, London, 1856. Reprinted by Studio Editions, London, 1986.
[12] C.S. Kaplan, Computer graphics and geometric ornamental design, Ph.D. thesis, University of Washington, Seattle, Washington, 2002.
[13] C.S. Kaplan, Islamic star patterns from polygons in contact, in Graphics Interface 2005, ACM International Conference Proceeding Series 112, 2005, pp. 177–186.
[14] C.S. Kaplan, Taprats, computer-generated Islamic star patterns. Available at http://www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/washington/taprats/
[15] G. Necipoglu, The Topkap Scroll: Geometry and Ornament in Islamic Architecture, Getty Center Publication, Santa Monica, 1995.
[16] G. Schneider, Geometrische Bauornamente der Seldschuken in Kleinasien, Ludwig Reichert Verlag, Wiesbaden, 1980.
[17] D. Wade, Pattern in Islamic Art: The Wade Photo-Archive, 2008. Available at http://www. patterninislamicart.com/
[18] D.K. Washburn, Style, Classification and Ethnicity: Design Categories on Bakuba Raffia Cloth, in Transactions of the American Philosophical Society Vol. 80, part 3, 1990.
[19] D.K. Washburn and D.W. Crowe, Symmetries of Culture: Theory and Practice of Plane Pattern Analysis, University of Washington Press, Seattle, 1987.
[20] Peter R. Cromwell, Islamic geometric designs from the Topkap Scroll I: unusual arrangements of stars
青山不改，绿水长流，在下告退。
转发随意，转载请联系张大少本尊，联系方式请见公众号底部菜单栏。
扫一扫，关注微信公众号“宇宙文明带路党”
