献给赛德老湿5

5 测度
一条线段有多长？一块地的面积是多少？一个球的体积是多少？在数学中，用来定义长度、面积、体积的工具，就叫做测度(measure)。
前文说到，关于极限过程等等问题的顺利解决，为连续、导数等定义消除了障碍，但是积分的基础还没有解决，因为积分的过程中需要将无限个小区间的长度加起来，每个区间的长度是否是有意义的，它们的和又是否是有意义的。这些悬疑就需要依靠测度论来解决。
通俗得来说，测度就是将每个集合对应到一个非负实数上，从而给了这个集合一种度量。如果这些集合都是实数组成的一维区间，那么可以称之为长度。
当然，这样定义的测度必须满足一些性质，例如，
空集的测度是0；
任意可数个两两不相交的集合，它们的并集的测度等于每个集合测度之和。(换句话说，将一个集合分成若干部分，分别计算它们的测度，结果应该与直接计算这个集合的测度相同。)
当然，在测度论中，这些定义有着各式各样的弱化或限制，这里就略去不提了。
最常用的测度，是我们一直接触的欧式空间上的勒贝格(Lebesgue)测度。我们知道，除了空集之外，有理数集Q的测度也是零，或者说可数集的测度为零。此外，康托三分集的测度为零，但它是一个不可数集。这些等等都不重要，因为人们发现，运用选择公理后可以构造出一个不可测集。用通俗地话说，它是R上的一个子集，但是却不具有可定义的长度。不可测集更导致了前一篇说所得巴拿赫-塔斯基悖论。
根据测度的概念，数学里有一个词叫做“几乎处处”，它指某个定理(定义等等)在去掉一个零测集外的所有情况成立。于是我们可以说，整个数轴上几乎处处都是无理数(Q的测度为零)，地球上几乎处处没人(援引自鱼老湿)等等。
测度以及积分理论的建立，带来的一个好处是，解决了概率论公理化的问题。古典概率论出现以来，人们一直对于这种把非是即否的事件表达成一个[0,1]之间的实数的方式存有疑问。在概率论的书上都可以见到一句话，不可能事件的概率为零，但是概率为零的事件不一定是不可能事件。原因就是，概率其实也是一种测度(具体来说是定义在可测空间上的可测函数)。如果某个事件是一个单点集，那么它的测度为零，自然概率就为零。由之前所述的零测度例子，我们很容易知道，在实数集R中任取一数a，a是有理数的概率为零。
下级预告：非欧几何。