方程推导

Fokker-Planck方程是一个描述随机动力学系统中概率密度函数随时间变化的偏微分方程。它广泛应用于物理、化学、生物学和金融等多个领域。这个方程可以从Langevin方程推导出来。

Langevin方程

Langevin方程描述了一个受到确定力 F和随机力 ξ(t)影响的粒子的运动。一维情况下，Langevin方程可表示为：

md2x/dt2=F(x,t)+ξ(t)

其中 m是粒子质量，x 是粒子位置，t是时间，ξ(t)是随机力。

概率密度函数 P(x,t)

概率密度函数 P(x,t)描述了在时刻 t，粒子位于位置 x的概率。对于一维情况，它满足如下连续性方程（也称为Liouville方程）：

∂P(x,t)/∂t+∂/∂x(vP)=0

其中 v是粒子的速度。

从Langevin到Fokker-Planck

为了从Langevin方程推导出Fokker-Planck方程，我们需要做一些假设和近似。特别地，我们假设随机力 ξ(t)是白噪声，并有均值为零和方差 2D。

1. 写出随机力的平均和方差：⟨ξ(t)⟩=0,⟨ξ(t)ξ(t′)⟩=2Dδ(t−t′)
2. 用速度 v重新写Langevin方程：mdv/dt=F(x,t)+ξ(t)或者dv/dt=−γv+√2Dη(t)其中 γ是摩擦系数，η(t) 是标准化的白噪声。
3. 求解 P(x,v,t）的演化方程： 利用多维连续性方程和上面的Langevin方程，我们可以写出 P(x,v,t)的演化方程。
4. 对 P(x,v,t)积分以消去 v： 最终，我们得到一维情况下的Fokker-Planck方程：

∂P(x,t)/∂t=−∂/∂x(f(x)P(x,t))+D∂2P(x,t)/∂x2，其中 f(x)是单位质量上作用的确定力。

以上就是Fokker-Planck方程从Langevin方程推导出来的基本过程。这里省略了一些数学细节和近似步骤，但主要思路应该是清晰的。希望这能帮助您理解Fokker-Planck方程的物理背景和推导过程。

连续方程（也称为质量连续方程或简单地连续性方程）是流体力学和质点传输领域中一个基本的方程。这一方程描述了在封闭空间内，流体或物质密度如何因流动而发生变化。其物理意义是：在一个封闭的控制体积（Control Volume）内，物质的质量守恒。

数学表达

连续方程一般可以写成如下形式：

∂ρ/∂t+∇⋅(ρv⃗)=0

其中，

• ρ是密度
• t是时间
• v⃗是速度场
• ∇⋅是散度运算

推导过程

假设我们有一个三维控制体积 V，其表面为 S，向外法线为 n⃗，密度为 ρ，速度场为 v⃗。

1. 质量守恒定律: 控制体积 V 内的总质量 M 是密度 ρ 对体积 V的积分：M=∫VρdVM=∫VρdV
2. 时间演化: M随时间 t的变化率是：dM/dt=d/dt∫VρdV=∫V∂ρ/∂tdV
3. 质量流出率: 同时，质量流出控制体积 V的速率是 ∫S(ρv⃗⋅n⃗)dS
4. 守恒定律: 在无源和汇的情况下，流入和流出的质量必须相等，即 dM/dt与质量流出率相等，所以：∫V∂ρ/∂tdV=−∫S(ρv⃗⋅n⃗)dS
5. 散度定理: 使用散度定理（Gauss定理），上式右侧可以变为体积积分：−∫S(ρv⃗⋅n⃗)dS=−∫V∇⋅(ρv⃗)dV
6. 连续方程: 综合以上所有步骤，我们得到：∫V(∂ρ/∂t+∇⋅(ρv⃗))dV=0由于这个关系对任意控制体积 V都成立，因此：∂ρ∂t+∇⋅(ρv⃗)=0∂t∂ρ+∇⋅(ρv)=0

这就是连续方程的推导过程，该方程是描述流体或物质传输现象中质量（或其他守恒量）如何随时间和空间变化的基本方程。希望这能回答您的问题。