FIRE数学|为什么你的投资需要多样性？
多样性
多样性可以降低组合的风险，这似乎是一个常识。
但理解背后的数学原理可以使我们对这个常识更有信心和底气，也更利于我们去执行和应对。
在投资界，“标准的风险”是用数学术语“标准差”或者“方差”去衡量的，代表的含义是“波动性”。也就是说，一只股票或者一个股票组合，如果波动越剧烈，其风险也就越大。 （
虽然我认为这样的风险定义对于个人或者对于FIRE践行者来说毫无意义，但此处要讨论的是“多样性与波动性”的关系，暂不讨论风险的定义）。
假设有股票A：其预期回报4%，标准差是6%
假设有股票B：其预期回报8%，标准差是15%
如果你将这两个股票进行不同比例的组合配置，你得到的预期回报和标准差是多少呢？
假设
xa ：股票A在组合中的占比
ra：股票A的预期回报 （4%）
xb ：股票B在组合中的占比
rb： 股票B的预期回报 （12%）
则，组合的预期回报=（xa*ra）+（xb*rb）
假设AB股票各配置一半，则组合的预期回报为：（xa*ra）+（xb*rb）=50%*4% +50%*12%=8%
再假设，
σa ：股票A的标准差
σb ：股票B的标准差
ρab ：为股票A和股票B之间的相关系数
则，组合的波动性 =xa²σa² + xb²σb² + 2(xaxbρabσaσb)
假设两只股票呈现负相关性，比如，ρab=-0.7，
则，两只股票组合的方差为=（0.50² * 6²） + （0.50² * 15²） + （2 * 0.50 * 0.50 * -0.70 * 6 * 15） = 33.75
使用方差值 33.75，我们可以通过取平方根轻松计算投资组合的标准差：
投资组合标准差 = √33.75 = 5.81%
在这个例子中，将股票B添加到你的投资组合中是一个好主意，因为它应该将你的预期回报率从4%提高到6%，同时也将你的投资组合的标准差从6%降低到5.81%！
正如我们刚刚看到的，个股的风险并不重要;个股与您现有投资组合之间的相关性以及个股如何影响投资组合的风险，实际上决定了一只股票是否是一项好的投资。
那么，这是否意味着你应该走出去，开始挑选一堆个股进行投资呢？不一定。
方差最小投资组合
下图显示了投资于不同数量股票 A 和股票 B 的不同投资组合的预期回报和标准差。
线上每个连续的点代表投资于股票 B 的投资组合金额增加 5%。
例如，点 1 表示 100% 投资于股票 A 和 0% 投资于股票 B 的投资组合；点 2 代表投资于股票 A 的 95% 和股票 B 的 5% 的投资组合，依此类推，直到您到达点 21，这代表投资组合投资于股票 A 的 0% 和股票 B 的 100%。
从图中可以看出，投资由点 1、2、3、4 或 5 表示的投资组合是没有意义的，因为如果您分别投资于 11、10、9、8 或 7，您将获得更高的回报，同时保持大致相同的标准差。
由点 6 到 21 表示的投资组合被认为是“有效的”，因为对于这些投资组合，如果不增加标准差，就不可能获得更高的预期回报。
从这张图中可以看出，哪个投资组合是最小方差投资组合：点 6。
对于这两种资产，将 25% 投资于股票 A，将 75% 投资于股票 B，可以让您为这两种资产实现最小差异投资组合。
如果我们想找到这两种资产的确切最小方差组合分配，我们可以使用以下等式：
x = (σb²-ρab*σa*σb) / (σa² + σb² – 2ρab*σa*σb)
我们可以看到 x = 74.42%。这意味着，要实现投资于股票 A 和 B 的最小方差投资组合，您应该将 74.42% 投资于股票 A，将 25.58% 投资于股票 B。
但我想要更高的回报！
当我们计划将 50% 投资于股票 A 和 50% 投资于股票 B 时，我们计算出投资组合的预期回报率应为 6%。
然而，现在我们投资于最小方差投资组合，我们投资组合的预期回报率仅为5%（见上图）。
如果你宁愿承担更多风险以赚取 6% 怎么办？
你应该只使用 点11 比率来实现 6% 的预期回报吗？不完全是。
无风险资产
与其把钱投资在点 11 的配比上，为什么不投资点 6，而只是借一些钱来投资更多呢？
这将使您能够增加预期回报，同时仍然允许您投资于最小方差投资组合。
为了进行更多投资，您可以通过使用无风险利率借钱，并将这笔额外的钱在最小方差投资组合中投入更多资金。
由于无风险资产是“无风险”的，因此其方差为零。当将无风险资产添加到图表中时（假设无风险利率为 3%），就会有额外的投资选择，这些选择比单独投资股票 A 和 B 更具吸引力。
正如你所看到的，为了达到你正在寻找的6%的预期回报，你最好以无风险利率借款，并增加投资于最小方差投资组合的金额（这种情况在图表上用字母a表示），而不是投资股票A和B的混合，用点11表示。
简单而言，要想获得6%的预期回报，有两种方法，一种是增加股票B的占比，但这样会导致，风险也同步增大；另一种是，以更便宜的无风险利率借款，这样就可以在更低的风险情况下获得相同的预期回报6%。
如果您更厌恶风险，购买无风险资产可以让您降低标准差，而不会迫使您投资于效率低下的投资组合。您可以通过以无风险利率借出部分资金并将其余资金投资于最小方差投资组合（见图表上的字母 b），在获得 4% 预期回报的同时获得 2% 的更小的标准差。
正如我们已经讨论过的，双资产投资组合仍然带有大量独特的风险，应该分散投资。
如上图所示，在您的投资组合中添加更多资产可以降低投资组合的独特风险。
那么，分散投资组合以完全消除独特风险的最佳方式是什么？
每只股票
让我们创建一个图表，类似于我们在上一篇文章中制作的图表，但不是只代表一个双资产投资组合的图表，而是让我们绘制包含市场上所有股票的投资组合的图表。
就像双资产组合一样，有些资产组合比其他资产更有效率。
圆点表示效率不高的投资组合，曲线表示效率高的投资组合。请记住，一个有效的投资组合是指在不增加投资组合的标准差（即风险）的情况下，其预期回报就无法增加的投资组合。
正如我们前面所讲的的那样，我们还假设投资者可以使用一种无风险资产，允许以无风险利率进行借贷（标记为 rf，图表上）。
正如前面提到的，投资于与无风险利率线相切的高效投资组合（然后根据需要以无风险利率借贷）比投资于不同的有效投资组合或非高效投资组合要好。
市场组合
事实证明，无风险线和所有可用资产的有效投资组合边界之间的切线，在上图中标记为 m，实际上是市场投资组合（即市场上所有资产的加权平均值）！
因此，该理论得出的结论是，投资者应该投资于市场投资组合，然后以无风险利率借贷，以获得最高的预期回报和所需的风险敞口水平。
通过投资市场上的每一只股票，您可以消除独特的风险，从而使自己只面临市场风险！
应用
市场组合。无风险资产。这些不都是理论上的想法吗？是的，但在真实的投资世界中也有接近的类似物。
投资市场投资组合的最简单方法是不要出去购买市场上的每一只股票，而是去购买已经打包好了的一揽子股票的组合，即，指数基金。更好的消息是，他们实际上对这项服务收取非常低的费用，因此您可以获得多元化的好处，而无需支付大量管理费或交易费！
无风险资产怎么样？
虽然无风险资产只是一种理论上的金融工具，但有一些几乎无风险的资产。例如，短期国债，因为它们得到政府的支持，违约风险很小。
结论
在此文中，首先我们了解到多元化是有益的，因为它可以降低投资组合面临的独特风险，同时可能增加您的预期回报。
其次，我们研究了不同资产比率如何优于其他资产，并描述了为什么最好投资于有效的投资组合，然后使用无风险资产将投资组合风险调整到理想的水平，而不是投资于效率低下的投资组合。
最后，我们讨论了市场投资组合如何成为理想的有效投资投资组合，因为它完全消除了独特的风险。
