【抽代复习笔记】05-关于同构
假设有两个代数系统(A,o)和(A1,o1)，定义f是从A到A1的一个映射，如果f满足以下两个条件：
（1）是一一映射，也就是既是单射又是满射；
（2）是A到A1的同态映射：任意a,b∈A，有f(a o b) = f(a) o1 f(b)；
那么就称f为从A到A1的同构映射。
【同态与同构的唯一区别：同态映射仅要求满射，而同构映射则要求双射。】
若A、A1之间存在同构映射，那么就称A和A1是同构的，记A≅A1.
特别地，当A1 = A，o1 = o时，也称f：A→A1为“A上的自同构”。
同构的三个性质：
（1）自反性：A与其自身A是同构的；
（2）对称性：若A与A1同构，则A1也与A同构；
（3）传递性：若A与A1同构，A1与A2同构，那么有A与A2同构。
定理：对于两个代数系统(A,o)和(A1,o1)，如果A与A1同构，那么若o适合交换律、结合律或者消去律，那么o1同样也适合。
证明：
（1）若o适合交换律，即a o b = b o a，那么由于f是同态映射，因此有f(a o b) = f(a) o1 f(b)，f(b o a) = f(b) o1 f(a)，因为a o b = b o a，由f的双射性知f(a o b) = f(b o a)，
因此有：f(a) o1 f(b) = f(b) o1 f(a)，因而o1也适合交换律。
（2）若o适合结合律，即对任意的a,b,c∈A，有(a o b) o c = a o (b o c)，
因为f((a o b) o c) = f(a o b) o1 f(c) = (f(a) o1 f(b)) o1 f(c)，
f(a o (b o c)) = f(a) o1 f(b o c) = f(a) o1 (f(b) o1 f(c))，
同样由f的双射性可知f((a o b) o c) = f(a o (b o c))，
因此有：(f(a) o1 f(b)) o1 f(c) = f(a) o1 (f(b) o1 f(c))，
所以o1也适合结合律。
（3）若o适合左消去律，即对于任意的a,b,c∈A，由b o a = b o c可以推导出a = c，
那么根据f的双射性可知上述描述等价于由f(b o a) = f(b o c)可以推导出f(a) = f(c)，
而f(b o a) = f(b) o1 f(a)，f(b o c) = f(b) o1 f(c)，
那么即是由f(b) o1 f(a) = f(b) o1 f(c)可以推导出f(a) = f(c)，
因此o1也适合左消去律；
更简洁的写法如下：已知由b o a = b o c可以推导出a = c，那么f(b) o1 f(a) = f(b) o1 f(c) → f(b o a) = f(b o c) → b o a = b o c → a = c → f(a) = f(c)。
可以用同样的方法证明o1同样适合右消去律。
定理：对于两个代数系统(A,⊙,⊕)和(A1,⊙1,⊕1)，如果A和A1同构，那么若⊙和⊕适合分配律，则⊙1和⊕1也适合分配律。
证明：设f为从A到A1的同构映射，假设⊙和⊕适合左分配律，那么对任意的a,b,c∈A，都有：b⊙(a⊕c) = (b⊙a)⊕(b⊙c)，
因此，f(b) ⊙1 (f(a) ⊕1 f(c)) = f(b) ⊙1 f(a⊕c) = f(b⊙(a⊕c)) = f((b⊙a)⊕(b⊙c)) = f(b⊙a) ⊕1 f(b⊙c) = (f(b) ⊙1 f(a)) ⊕1 (f(b) ⊙1 f(c))，
这样就证明了⊙1和⊕1也适合左分配律。
可用同样的方法证明⊙1和⊕1也适合右分配律。
因此若⊙和⊕既适合左分配律、又适合右分配律，那么⊙1和⊕1也既适合左分配律、又适合右分配律，
即若⊙和⊕适合分配律，那么⊙1和⊕1也适合分配律，定理得证。
推论：
（1）若o适合某种运算律，但是o1不适合，则A与A1不同构。
（2）两个集合若含有不同数量的元素，那么这两个集合也不同构（因为无法构造一一映射）。
两个例题：
（1）假设A = Q（有理数集），找一个A对于普通数的加法来说的自同构（映射x→x除外）。
解：好比如f(x) = 5x，对于代数系统(A,+)，对任意的a,b∈A=Q，根据有理数对加法的封闭性，可得a+b∈A=Q，而f(a + b) = 5(a + b) = 5a + 5b = f(a) + f(b)
因此f是从代数系统(A,+)到代数系统(A,+)（也就是到它自身）的同态映射，
此外显然对任意的x∈A，都存在5x(有理数域对乘法封闭)∈A，使得f(x) = 5x，
因此f是一个映射；
对任意的y∈A，都存在1/5y∈A,使得f(1/5y) = 5×(1/5y) = y，
因此f是一个满射，
又对任意x1,x2∈A，若f(x1) ≠ f(x2)，则有5x1 ≠ 5x2，从而x1 ≠ x2，因此f也是一个单射，
从而f既是一个从A到A的一一映射（单射+满射），又是一个从A到A的同态映射，
那么根据同构的定义，可以得出f是从A到A（到它自身）的一个同构映射，因此f(x)=5x为一个A上对于普通数的加法来说的自同构。
（2）设A = Q，A的代数运算是+，A1 = {所有非零有理数}，A1的代数运算是×，试证明：A和A1不同构。
证明：利用反证法，假设存在f：A→A1为同构映射，其中-1(∈A1)在f下的原像是a，即有f(a) = -1，因为f为从A到A1的同构映射，因而它同时也是一个同态映射，因而它将满足：f(a) = f(1/2a + 1/2a) = f(1/2a) × f(1/2a) = [f(1/2a)]^2 = -1，
但是f(1/2a)(∈A1)为有理数，有理数的平方是不可能为负数的，因而上式不可能成立，
因此不存在从A到A1的同构映射，也就是说A与A1不同构。
(待续......)
