二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系?
之前你已经了解概率的基础知识（如果还不知道概率能干啥，在生活中有哪些应用的例子，可以看我之前的《投资赚钱与概率》）。
今天我们来聊聊几种特殊的概率分布。这个知识目前来看，还没有人令我满意的答案，因为其他人多数是在举数学推导公式。我这个人是最讨厌数学公式的，但是这并不妨碍我用统计概率思维做很多事情。相比熟悉公式，我更想知道学的这个知识能用到什么地方。可惜，还没有人讲清楚。今天，就让我来当回雷锋吧。
首先，你想到的问题肯定是：
1. 什么是概率分布？ 2. 概率分布能当饭吃吗？学了对我有啥用？
好了，我们先看下：什么是概率分布？
1. 什么是概率分布？
要明白概率分布，你需要知道先两个东东：
1）数据有哪些类型 2）什么是分布
数据类型（统计学里也叫随机变量）有两种。第1种是离散数据。
离散数据根据名称很好理解，就是数据的取值是不连续的。例如掷硬币就是一个典型的离散数据，因为抛硬币的就2种数值（也就是2种结果，要么是正面，要么是反面）。
你可以把离散数据想象成一块一块垫脚石，你可以从一个数值调到另一个数值，同时每个数值之间都有明确的间隔。
第2种是连续数据。连续数据正好相反，它能取任意的数值。例如时间就是一个典型的连续数据1.25分钟、1.251分钟，1.2512分钟，它能无限分割。连续数据就像一条平滑的、连绵不断的道路，你可以沿着这条道路一直走下去。
什么是分布呢？
数据在统计图中的形状，叫做它的分布。
其实我们生活中也会聊到各种分布。比如下面不同季节男人的目光分布.。
各位老铁，来一波美女，看看你的目光停在哪个分布的地方。
美女也看了，现在该专注学习了吧。现在，我们已经知道了两件事情：
1）数据类型（也叫随机变量）有2种：离散数据类型（例如抛硬币的结果），连续数据类型（例如时间） 2）分布：数据在统计图中的形状
现在我们来看看什么是概率。概率分布就是将上面两个东东（数据类型+分布）组合起来的一种表现手段：
概率分布就是在统计图中表示概率，横轴是数据的值，纵轴是横轴上对应数据值的概率。
很显然的，根据数据类型的不同，概率分布分为两种：离散概率分布，连续概率分布。
那么，问题就来了。为什么你要关心数据类型呢？
因为数据类型会影响求概率的方法。
对于离散概率分布，我们关心的是取得一个特定数值的概率。例如抛硬币正面向上的概率为:p(x=正面)=1/2
而对于连续概率分布来说，我们无法给出每一个数值的概率，因为我们不可能列举每一个精确数值。
例如，你在咖啡馆约妹子出来，你提前到了。为了给妹子留下好印象，你估计妹子会在5分钟之内出现，有可能是在4分钟10秒以后出现，或者在4分钟10.5秒以后出现，你不可能数清楚所有的可能时间，你更关心的是在妹子出现前的1-5分钟内（范围），你把发型重新整理下（虽然你因为加班头发 已经秃顶了，但是发型不能乱），给妹子留个好印象。所以，对于像时间这样的连续型数据，你更关心的是一个特定范围的概率是多少。
2. 概率分布能当饭吃吗？学了对我有啥用？
当统计学家们开始研究概率分布时，他们看到，有几种形状反复出现，于是就研究他们的规律，根据这些规律来解决特定条件下的问题。
想起，当年为了备战高考，我是准备了一个自己的“万能模板”，任何作文题目过来，我都可以套用该模板，快速解决作文这个难题。当你，我高考的作文分数还是不错的。（我聪明吧）
同样的，记住概率里这些特殊分布的好处就是：
下次遇到类似的问题，你就可以直接套用“模板”（这些特殊分布的规律）来解决问题了。
酷不酷？爽不爽？
接下里，我们一起来聊聊常见的4种概率分布。
1）3种离散概率分布
二项分布 泊松分布 几何何分布
2）1种连续概率分布
正态分布
在开始介绍之前，你先回顾下这两个知识：
期望：概率的平均值 标准差：衡量数据的波动大小。
第1种：二项分布
我们从下面3个问题开聊：
1. 二项分布有啥用？ 2. 如何判断是不是二项分布？ 3. 二项分布如何计算概率？
1. 二项分布有啥用呢？
当你遇到一个事情，如果该事情发生次数固定，而你感兴趣的是成功的次数，那么就可以用二项分布的公式快速计算出概率来。
例如你按我之前的《投资赚钱与概率》买了这5家公司的股票（谷歌，Facebook，苹果，阿里巴巴，腾讯），为了保底和计算投入进去多少钱，你想知道只要其中3个股票帮你赚到钱（成功的次数）的概率多大，那么这时候就可以用二项分布计算出来。
牛掰吧？
2. 如何判断是不是二项分布？
首先，为啥叫二项，不叫三项，或者二愣子呢？故明思义，二项代表事件有2种可能的结果，把一种称为成功，另外一种称为失败。
生活中有很多这样2种结果的二项情况，例如你表白是二项的，一种成功（恭喜你表白成功，可以恋爱了，兴奋吧？），一种是失败（被拒绝了，伤不伤心？）。你向老板提出加薪的要求，结果也有两种（二项）。一种是成功（加薪成功，老板我爱你），一种是失败（麻蛋，不给涨薪老子不干了，像是这种有统计概率思维的人，是很稀缺的，明天就投简历出去）
那么，什么是二项分布呢？只要符合下面3个特点就可以判断某事件是二项分布了：
1）做某件事的次数（也叫试验次数）是固定的，用n表示。
（例如抛硬币3次，投资5支股票），
2）每一次事件都有两个可能的结果（成功，或者失败）
（例如每一次抛硬币有2个结果：正面表示成功，反面表示失败。
每一次投资美股有2个结果：投资成功，投资失败）。
3）每一次成功的概率都是相等的，成功的概率用p表示
（例如每一次抛硬币正面朝上的概率都是1/2。
你投资了5家公司的股票，假设每一家投资盈利成功的概率都相同）
4）你感兴趣的是成功x次的概率是多少。那么就可以用二项分布的公式快速计算出来了。
（你已经知道了我前面讲的5家美股的赚钱概率最大，所以你买了这5家公司的股票，假设投资的这5家公司成功的概率都相同，那么你关心其中只要有3个投资成功，你就可以赚翻了，所以想知道成功3次的概率）
根据这4个特点，我们就知道抛硬币是一个典型的二项分布，还有你投资的这5支股票也是一个典型的二项分布（在假设每家公司投资成功的前提下）。
3. 二项分布如何计算概率？
怎么计算符合二项分布事件的概率呢？也就是你想知道下面的问题：
你抛硬币3次，2次正面朝上的概率是多少？ 你买了这5家公司的股票，3支股票赚钱的概率是多大？
上面我们已经知道了二项分布的4个特点，并知道每个特点的表示方法：
1）做某件事次数是固定的，用n表示 2）每一次事件都有两个可能的结果（成功，或者失败） 3）每一次成功的概率都是相等的，成功的概率用p表示 4）你感兴趣的是成功x次的概率是多少
这时候，二项分布的公式就可以发挥威力了：
这里你也别害怕数学公式，每一项的含义我前面已经讲的很清楚了。这个公式就是计算做某件事情n次，成功x次的概率的。很多数据分析工具（Excel，Python，R）都提供工具让你带入你研究问题的数值，就能得到结果。
例如，抛硬币5次（n），恰巧有3次正面朝上(x=3，抛硬币正面朝上概率p=1/2)，可以用上面的公式计算出出概率为31.25%（用Excel的BINOM.DIST函数，Python，R都可以快速计算)
二项分布经常要计算的概率还有这样一种情况：
抛硬币5次，硬币至少有3次正面朝上（即x>=3）的概率是多少？
你能直接想到的简单方法是：将恰巧有3次，恰巧有4次，恰巧有5次的概率相加，结果便是至少3次，为50%。
但是如果次数很多，这样的办法简直是给自己挖了一个大大的坑。
我们用逆向思维换个思路，至少3次正面朝上的反向思考是什么呢？
反向思路就是最多2次正面朝上。只要我们先计算出最多2次正面朝上的概率p(x<=2)，那么至少3次正面朝上的概率就是1-p(x<=2)。
这样用逆向思维，就把一个复杂的问题，化解为简单的问题。因为求做多2次朝上的概率比较简单：
p(x<=2)=p(0)+p(1)+p(2)
最好提下二项分布的：
期望E(x)=np （表示某事情发生n次，预期成功多少次。）
知道这个期望有啥用呢？
做任何事情之前，知道预期结果肯定对你后面的决策有帮助。比如你抛硬币5次，每次概率是1/2，那么期望E(x)=5*1/2=2.5次，也就是有大约3次你可以抛出正面。
在比如你之前投资的那5支股票，假设每支股票帮你赚到钱的概率是80%，那么期望E(x)=5*80%=4，也就是预期会有4只股票投资成功帮你赚到钱。
第2种：几何分布
其实我一直把几何分布，叫做二项分布的孪生兄弟，因为他两太像了。只有1点不同，就像海尔兄弟只有内裤不同一样。
我们还是从下面这个套路聊起来一起找出这个不同的“劲爆点”：
1 . 几何分布有啥用？ 2. 如何判断是不是几何分布？ 3. 几何分布如何计算概率？
1.几何分布有啥用？
如果你需要知道尝试多次能取得第一次成功的概率，则需要几何分布。
2. 如何判断是不是几何分布？
只要符合下面4个特点就可以判别你做的事情是就是几何分布了：
1）做某事件次数（也叫试验次数）是固定的，用n表示 （例如抛硬币3次，表白5次）， 2）每一次事件都有两个可能的结果（成功，或者失败） （例如每一次抛硬币有2个结果：正面表示成功，反面表示失败。 每一次表白有2个结果：表白成功，表白失败）。 3）每一次“成功”的概率都是相等的，成功的概率用p表示 （例如每一次抛硬币正面朝上的概率都是1/2。 假设你是初出茅庐的小伙子，还不是老油条，所以你表白每一次成功的概率是一样的） 4）你感兴趣的是，进行x次尝试这个事情，取得第1次成功的概率是多大。 （例如你在玩抛硬币的游戏，想知道抛5次硬币，只有第5次（就是滴1次成功）正面朝上的概率是多大。
你表白你的暗恋对象，你希望知道要表白3次，心仪对象答应和你手牵手的概率多大。）
正如你上面看到的，几何分布和二项分布只有第4点，也就是解决问题目的不同。这个点够不够劲爆？（嘻嘻）
3. 几何分布如何计算概率？
用下面公式就可以了：
p为成功概率，即为了在第x次尝试取得第1次成功，首先你要失败（x-1）次。
假如在表白之前，你计算出即使你尝试表白3次，在最后1次成功的概率还是小于50%，还没有抛硬币的概率高。那你就要考虑换个追求对象。或者首先提升下自己，提高自己每一次表白的概率，比如别让自己的鼻毛长出来。我之前读书的一个师兄，每天鼻毛长出来，看的我都恶心，何况其他人呢。
几何分布的期望是E(x)=1/p。代表什么意思呢？
假如你每次表白的成功概率是60%，同时你也符合几何分布的特点，所以期望E(x)=1/p=1/0.6=1.67
所以你可以期望自己表白1.67次（约等于2次）会成功。这样的期望让你信息倍增，起码你不需要努力上100次才能成功，2次还是能做到的，有必要尝试下。
几何分布的标准差：
第3种泊松分布
还是同样的味道，还是同样的讨论，我们一起通过下面3个问题了解这个泊松分布。
1. 泊松分布有啥用？ 2. 如何判断是不是泊松分布？ 3. 泊松分布如何计算概率？
1. 泊松分布有啥用？
如果你想知道某个时间范围内，发生某件事情x次的概率是多大。这时候就可以用泊松分布轻松搞定。比如一天内中奖的次数，一个月内某机器损坏的次数等。
知道这些事情的概率有啥用呢？
当然是根据概率的大小来做出决策了。比如你搞了个抽奖活动，最后算出来一天内中奖10次的概率都超过了90%，然后你顺便算了下期望，再和你的活动成本比一下，发现要赔不少钱。那这个活动就别搞了。
泊松分布的形状会随着平均值的不同而有所变化，无论是一周内多少人能赢得彩票，还是每分钟有多少人会打电话到呼叫中心，泊松分布都可以告诉我们它们的概率。
2. 什么是泊松分布？
符合以下3个特点就是泊松分布：
1）事件是独立事件 （之前如果你看过我的《投资赚钱与概率》已经知道赌徒谬论了，所以类似抽奖这样的就是独立事件） 2）在任意相同的时间范围内，事件发的概率相同 （例如1天内中奖概率，与第2天内中间概率相同） 3）你想知道某个时间范围内，发生某件事情x次的概率是多大 （例如你搞了个促销抽奖活动，想知道一天内10人中奖的概率）
用x代表事情发的次数（例如中奖10个人中奖），u代表给定时间范围内事情发生的平均次数（例如你搞的抽奖活动1天平均中奖人数是5人），概率计算公式为：
可别被上面的公式吓到，数学公式就是纸老虎，现在有很多工具（Excel，Python，R）都可以直接计算出来这个概率，所以也别记住这个公式，用的时候知道泊松分布适合啥时候用就妥了。
例如你搞了个促销抽奖活动，只知道1天内中奖的平均个数为5个，你想知道1天内恰巧中奖次数为7的概率是多少？
此时x=7，u=5（区间内发生的平均次数），代入公式求出概率为10.44%。Excel中的函数为POISSON.DIST就可以立马算出来。
泊松概率还有一个重要性质，它的数学期望和方差相等，都等于u
1. 什么是概率分布？
概率分布就是在统计图中表示概率，横轴是数据的值，纵轴是横轴上对应数据值的概率。
2. 概率分布能当饭吃吗？学了对我有啥用？
下次遇到类似的问题，你就可以直接套用“模板”（这些特殊分布的规律）来求得概率了。
3.特殊的概率分布有哪些？
3种离散概率分布，分别代表了解决3种问题的“万能模板”
二项分布（Binomial distribution）
符合以下4个特点的就是二项分布
1）做某件事的次数是固定的。
2）每一次事件都有两个可能的结果（成功，或者失败）
3）每一次成功的概率都是相等的
4）你感兴趣的是成功x次的概率是多少
案例：
抛5次硬币，有2次正面朝上的概率是多少
你买了之前我介绍你的5家公司的股票，假设投资的这5家公司成功的概率都相同，那么你关心其中只要有3个投资成功，你就可以赚翻了，所以想知道成功3次的概率多大。
几何何分布（Geometric distribution）
只要符合下面4个特点就可以判别你做的事情是就是几何分布了：
1）做某事件次数（也叫试验次数）是固定
2）每一次事件都有两个可能的结果
3）每一次“成功”的概率都是相等的，成功的概率用p表示
4）你感兴趣的是，进行x次尝试这个事情，取得第1次成功的概率是多大。
案例：例如你在玩抛硬币的游戏，想知道抛5次硬币，只有第5次（就是滴1次成功）正面朝上的概率是多大。
表白3次，第3次成功的概率多大
泊松分布（poisson distribution）
符合以下3个特点就是泊松分布：
1）事件是独立事件
2）在任意相同的时间范围内，事件发的概率相同
3）你想知道某个时间范围内，发生某件事情x次的概率是多大
案例：例如你搞了个促销抽奖活动，想知道一天内10人中奖的概率
例如你是公司质检管理员，想知道一个月内某机器损坏的10次（假如超过10次一句认为不合格）的概率是多少。
1种连续概率分布：正态分布（Normal distribution）
这个分布在生活中太有用了，给我一种相见恨晚的“劲爆感”，留着下次聊
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