【抽代复习笔记】08-群（二）：四个定理
定义：设(G,o)是一个群，a∈G，则称a^n = a o a o ...... o a(n个a)为a的n次幂。
定理6：设(G,o)是一个群，则任意的a,b∈G，m,n∈Z₊(正整数集)，则：
（1）a^(m+n) = a^m o a^n，(a^m)^n = a^(mn)；
（2）特别地，当(G,o)为交换群时，(a o b)^n = (a^n) o (b^n)；
证：(1)是规定，下面只证(2)。
由于(G,o)是交换群，因此对任意的a,b∈G，都有a o b = b o a，
因此当n=2时，(a o b)^2 = (a o b) o (a o b) = (b o a) o (a o b) =(群一定适合结合律)= b o (a o a) o b = b o a^2 o b = a^2 o b o b = a^2 o (b o b) = (a^2) o (b^2)；
当n=3时，(a o b)^3 = (a o b) o (a o b) o (a o b) = (b o a) o (a o b) o (b o a) = b o (a o a) o (b o b) o a = (b o a^2) o (b^2 o a) = (a^2 o b) o (b^2 o a) = a^2 o (b o b^2) o a = a^2 o (b^3 o a) = a^2 o (a o b^3) = (a^2 o a) o b^3 = (a^3) o (b^3)；
......
以此类推，不管n为何值，都可以通过这样不断交换次序的方式，把(a o b)^n化为(a^n) o (b^n)的形式。
定理7：群(G,o)的左单位元e存在且唯一。
证：①由群的第一定义、第二定义(见上一篇文章)知群必定存在单位元，因此存在性得证；
②假设e1也是群(G,o)的左单位元，那么有：e1 = e1 o e(e既是左单位元也是右单位元) = e；
因此有e1 = e，这样便证明了群中左单位元（或者说“单位元”）的唯一性。
定理8：群(G,o)的任意元素a，它的左逆元a1存在且唯一。
证：①由群的第一定义、第二定义(见上一篇文章)知群中任一元素必定存在左逆元，因此存在性得证；
②对任意a∈G，a1是其左逆元(由上一篇文章的证明知它也是其右逆元)，假设a2也是其左逆元，而e是群(G,o)的单位元，那么：
a2 = a2 o e = a2 o (a o a1) =(适合结合律)= (a2 o a) o a1 = e o a1 = a1，
因此有a2 = a1，这样便证明了左逆元的唯一性。
定理9：设(G,o)是一个群，对任意a,b∈G，有：
①[a^(-1)]^(-1) = a；
②(a o b)^(-1) = [b^(-1)] o [a^(-1)]（a与b的乘积的逆元等于b的逆元乘以a的逆元），更一般地，我们有：
(a1 o a2 o a3 o ... o an)^(-1) = (an)^(-1) o (an-1)^(-1) o ... o (a1)^(-1)，从而：
(a^n)^(-1) = (a o a o ... o a)^(-1) = a^(-1) o a^(-1) o ... o a^(-1) = [a^(-1)]^n。
证：①由群的定义可知，对任意的a∈G，存在a的左逆元a1 = a^(-1)，使得a1 o a = a o a1 = e，此式表明a1也是可逆的，且a1的逆元为a，即a1^(-1) = [a^(-1)]^(-1) = a。
②由群的定义知，对于任意的a,b∈G，存在a^(-1)、b^(-1)∈G，使得a^(-1) o a = a o a^(-1) = e，b^(-1) o b = b o b^(-1) = e，
因此[b^(-1) o a^(-1)](a o b) =(适合结合律)= [b^(-1) o (a^(-1) o a)] o b = [b^(-1) o e] o b = b^(-1) o b = e，因此有a o b的逆元为b^(-1) o a^(-1)，即(a o b)^(-1) = [b^(-1)] o [a^(-1)]；
对于一般情况，(a1 o a2 o a3 o ... o an)^(-1) = [(a1 o a2 o a3 o ... o an-1) o an]^(-1) =(利用上面得出的结论)= an^(-1) o (a1 o a2 o a3 o ... o an-1)^(-1) = an^(-1) o [(a1 o a2 o a3 o ... o an-2) o an-1]^(-1) = an^(-1) o an-1^(-1) o (a1 o a2 o a3 o ... o an-2)^(-1) = ...... = an^(-1) o an-1^(-1) o ...... a2^(-1) o a1^(-1)，
当a1 = a2 = ...... = an = a时，根据上述结论，我们有：(a o a o ...... o a)^(-1) = (a^n)^(-1) = a^(-1) o a^(-1) o ...... o a^(-1) = [a^(-1)]^n，即可得(a^n)^(-1) = [a^(-1)]^n。
（待续......）
