【抽代复习笔记】10-群（四）：关于群元素的阶
定义：设(G,o)是一个群，a∈G，则称使a^m = e的最小正整数m为a的阶，记为|a| = m或者o(a) = m，若这样的m不存在，则称a是无限阶的，记为|a| = ∞或者o(a) = ∞。
例3：①考虑整数加群(Z,+)中各元素的阶。
②考虑非零有理数乘法群(Q*,×)中各元素的阶。
解：①对于群(Z,+)，对任意的a∈Z，a^m = a + a + ... + a(m个a相加)，e = 0，因此当a ≠ 0时，不存在这样的正整数m、能使m个a相加后等于e = 0，因此对于Z中的任意非零元素a，都有|a| = ∞；当a = 0时，因为0^1 = 0 = e，所以|0| = 1。
②对于群(Q*,×)，e = 1，任意a∈Q*，a^m = a × a × ... × a(m个a相乘)，因此对于任意的a ≠ ±1，均不存在这样的正整数m、能使a^m = 1 = e，因此当a ≠ ±1时，|a| = ∞；当a = 1时，由于1^1 = 1，所以|1| = 1；当a = -1时，由于(-1)^1 = -1 ≠ 1，而(-1)^2 = 1，因此|-1| = 2。
例4：令G = {1,i,-1,-i}，其乘法表为：
寻找G中各元素的阶。
解：由乘法表可知，对于任意的a∈G，均有1 o a = a o 1 = a，因此e = 1，
①因为1^1 = 1，因此|1| = 1；
②因为i^1 = i ≠ e，i^2 = i o i = -1 ≠ e，i^3 = i o i o i = i^2 o i = -1 o i = -i ≠ e，i^4 = i o i o i o i = i^3 o i = -i o i = 1 = e，因此|i| = 4；
③因为(-1)^1 = -1 ≠ e，(-1)^2 = (-1) o (-1) = 1 = e，因此|-1| = 2；
④因为(-i)^1 = -i ≠ e，(-i)^2 = (-i) o (-i) = -1 ≠ e，(-i)^3 = (-i) o (-i) o (-i) = (-i)^2 o (-i) = (-1) o (-i) = i ≠ e，(-i)^4 = (-i) o (-i) o (-i) o (-i) = (-i)^3 o (-i) = i o (-i) = 1，因此|-i| = 4。
定理12：在群(G,o)中，对于任意的a∈G，有：
（1）|a| = 1当且仅当a等于单位元e；
（2）若a的逆元等于a自身，那么a的平方是单位元。
证：（1）充分性：若a = e，那么显然有a^1 = e，即|a| = 1；
必要性：若|a| = 1，则a^1 = a = e，那么显然也有a = e。
（2）假设对于a∈G，a1为a的逆元，那么显然有a1 o a = e，因此若a1 = a，则有a o a = a^2 = e，即a的平方为单位元。
定理13：在群(G,o)中，对于任意的a∈G，若|a| = k，且a^n = e，则k|n。
证：若|a| = k，则k是正整数，根据带余除法，对任意的n∈Z，均存在q∈Z，使得n = k×q + r(0 ≤ r ＜k)，因此有a^n = a^(k×q + r) = a^(k×q) o a^r = (a^k)^q o a^r = e^q o a^r = e o a^r = a^r = e，
由于|a| = k，因此k是使得a^k = e的最小正整数，再结合0 ≤ r＜k以及a^r = e，可得r = 0，
于是我们有n = k×q，因此k|n。
定理14：在群(G,o)中，对于任意的a∈G，都有a的阶与a的逆元的阶相等，即若a1为a的逆元，则|a1| = |a|。
证：①对于任意的a∈G，假设a的阶为有限数，令a^n = e，a^(-1)为a的逆元，因为[a^(-1)]^n = [a^n]^(-1) = e^(-1) =(单位元的逆元等于它自身)= e，设|a^(-1)| = m，则[a^(-1)]^m = e，且根据定理13，有m|n(m整除n)，又a^m = [(a^m)^(-1)]^(-1) = {[a^(-1)]^m}^(-1) = e^(-1) = e，因此n|m，因为m,n互相整除，所以有m = n。
②如果|a| = ∞，假设|a^(-1)| = m(有限数)，那么[a^(-1)]^m = e，从而a^m = [(a^m)^(-1)]^(-1) = {[a^(-1)]^m}^(-1) = e^(-1) = e，这与|a| = ∞矛盾，所以|a^(-1)| = ∞。
综合①和②，我们可得a的阶与其逆元的阶相等，即|a| = |a^(-1)|。
定理15：群的乘法适合消去律，即对于群(G,o)，对任意a∈G，有：
①若a o x = a o x1，则x = x1（适合左消去律）；
②若y o a = y1 o a，则y = y1（适合右消去律）。
证：①设a1为a的逆元，则a o x = a o x1 ⇉(两端左乘a的逆)⇉ a1 o (a o x) = a1 o (a o x1) ⇉ (a1 o a) o x = (a1 o a) o x1 ⇉ e o x = e o x1 ⇉ x = x1；
②可用和①同样的方式证明。
推论：在群(G,o)中，方程 a o x = b 和 y o a = b 各有唯一解。
证：①假设x1和x2都是方程 a o x = b 的解，则 b = a o x1 = a o x2 ⇉(左消去律)⇉ x1 = x2；
②假设y1和y2都是方程 y o a = b 的解，则 b = y1 o a = y2 o a ⇉(右消去律)⇉ y1 = y2。
（待续……）
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