难以理解的“不理解”

在《哲学·科学·常识》一书中，陈嘉映教授认为科学理论要用数学语言来理解，这不是自然理解；自然理解用我们日常的自然语言，而其中的关键区别，就在于自然语言和理解是直观的。

最重要的例子就是惯性定律。陈嘉映说，我们推着小车匀速运动也是要用力的，而惯性定律却说不受力的物体会静止或匀速直线运动，他于是得出结论，惯性定律是对力的重新定义，好像牛顿是个不讲理的人。而且，他认为按照亚里士多德对力的定义，亚里士多德也是对的；两者都在自己的体系里对，但两个概念系统是两种不同的理解，用库恩的话说，不可通约。当然了，陈嘉映的意思还是对牛顿的新定律只有数学化、技术化的理解。

事情当然不是这样。其实面对中立的听众，牛顿和亚里士多德各有反常现象需要面对。

牛顿面对的反常现象陈嘉映已经举例子了，亚里士多德要面对的反常现象是射箭。亚里士多德认为物体在推或拉的外力的作用下才会运动，没有外力就会停止。那么离开弓弦的箭又是在什么力的支持下飞行的呢？据介绍，他的解释是：周围的空气挤向被箭排开的尾部真空，推着箭前进。现在我们知道他说的不对，若他说的对，降落伞将不能保护人，只会让人下落得更快。

其实这种理论的毛病并不是等到伽利略的时代才被发现。据介绍，公元六世纪就有学者菲洛彭诺斯反对亚里士多德的理论，他认为抛射体本身具有某种动力，推动物体前进，这叫冲力理论。这可以视为惯性定律的先声吧。

回头来说，在牛顿力学里，关于推小车的问题，不是直接用惯性定律解释，而是用它的一个推论：物体所受合力为零时保持静止或匀速直线运动。小车除了受到人的推力，还受到与运动方向相反的滚动摩擦力，两者抵消，合力为零。

如果说这里新定义了什么，那就是滚动摩擦力了。

与滚动摩擦力相比，滑动摩擦力更容易体会和理解。在冰面上玩过的都知道，像上图那样推着东西走，冰面上比地面上阻力小得多。想更直接地体会滑动摩擦力也很容易，你把手紧按住桌面，然后把手往前推，就能体会到摩擦力。

按旧的运动定律，要让箱子匀速运动，需要用力；而新的惯性定律推论说，当箱子受到的人的推力和摩擦阻力大小相等方向相反（所受合力为零）时，箱子会静止或匀速直线运动。

古代的人不了解摩擦力，在现代，用滑动摩擦力和滚动摩擦力来解释推箱子和推小车已经很成功了，还要把惯性定律说成力的新定义，真让人很不理解（觉得不可思议）。

而如果像陈嘉映那样，说新旧两个说法都对，就得在旧定律的概念体系里不承认摩擦力，甚至把力这个概念等同于使劲。推车问题就是这样，说要想推着车匀速前进，必须使劲，不使劲它就会停下，这是完全正确的。

只不过，在日常语言中，除使劲之外的其他的力的说法也是有的。比如把一块砖立在地上，用另一块砖把它打倒，我们说后一块砖给了前一块砖一个力，这样说在日常语言里是完全正常的说法。这样一来，想要像陈嘉映那样说新旧运动定律都在自己的体系里正确，要把话说圆，还需要努力。

陈嘉映说数学并不直接有意义，这种说法也许来自希尔伯特的形式主义数学哲学。陈嘉映似乎想说，数学不直接有意义，物理离不开数学，因此物理也就不直接有意义。不管陈嘉映从中引申出的结论是否符合希尔伯特的意思，从数学哲学的一种来得出结论，然后当作定论，仍是不恰当的。尽管希尔伯特被誉为数学界的亚历山大大帝，但他的形式主义学派只是数学哲学中的一派。而且，在实际的数学研究或学习中，哲学问题可以暂时放下不管。

陈嘉映说数学理解不是自然理解，理由是自然理解依赖直观，而数学则不是这样。下面来看一下这种说法是否符合实际。

科朗与罗宾合著的《什么是数学》一书中第一章在列出算术基本规律后，给出了加法的直观基础。

而乘法的直观基础是这样的

而且，据叶峰教授介绍，希尔伯特发展有穷数学，也会把

1， 2， 3， 4，…等等解释为下面这样的竖线

｜， ｜｜， ｜｜｜， ｜｜｜｜，…。

我们也可对这进行直观理解啊。

再比如，无限也是数学的研究对象，关于无限的理论中有一个看上去很反直觉的说法：三段很短的线段上点的个数与无限长的直线上点的个数相等，可这也能用下图直观地说明。

这里还要用一个很直观的原理：两集合的元素如果能形成一一对应，则两集合元素的个数相等。比如，电影院里的观众和座位如果一一对应，即每个人都坐下了而且只坐了一个座位没有多占，每个座位上也只坐了一个人而没有多的，那么观众人数和座位的个数就是相等的。

按照这个原理，如图三段线段上点的个数与无限长的直线上点的个数相等。

陈嘉映认为自然理解始终依赖直观，而数学推理丧失了直观，可在这里我们看到，直观明明就在的。

可以说，陈嘉映所追求的自然理解，科学家和数学家一直在做，学生们一直在学。