哥德尔定理的证明

近来在图书馆随意翻到一本《科学的难题——悖论》，从悖论的角度回顾了三次数学危机，其中特别地还用通俗语言讲解了哥德尔不完备定理的证明思想。我觉得这个论题比较有意思，因为哥德尔不完备定理是个被传得很“神”的定理，了解一下证明方法我觉得还是不坏的。
首先补上三条逻辑公理：
同一律：三段论演绎法，你们懂的。
矛盾律：一个命题不能既是真的又是假的。
排中律：一个命题不能既不是真的又不是假的。
再来补上两个公理体系性质的定义：
一致性（也称相容性）：对于其中任何一个命题，不能同时证明命题及其否命题。就是说对于一个命题，不能同时证明它既是真的又是假的。
完备性：对于任何一个可以表达的命题，必可以证明命题或其否命题。就是说随便给出一个命题，总能证明它要么是真的要么是假的。
最后就是哥德尔定理
哥德尔第一定理：对于一个符合一致性的公理体系，其中必存在不能证明也不能证伪的命题。即一致的公理体系不完备。
证明思想：
哥德尔在公理体系中构造了这么一个命题：
 
 命题G：G是不可证的。
就是说，命题G是一个对自身进行判断的命题。其实这个命题的构造本身是受了“说谎者悖论”的启发（关于这一点哥德尔本人也是承认的），“说谎者悖论”最一般的形式就是：
 
 “我正在说的这句话是谎话。”
也是个对自身进行了判断的语句，是不是很有点像？
接着证明过程。假设命题G是假的，那么根据G的内容，G就是可证的，而G既然是可证的，那G就是真的，这与假设矛盾（违背了矛盾律），所以G不能是假的。再假设G是真的，还是根据G的内容，G是不可证的，但这与假设“G是真的”并不矛盾，所以G就是一个“真的但不可证明”的命题。于是证毕。
看起来是很简单的证明。不过其实在形式系统中，这样的判断自身的命题是无法表达的，首先“不可证”这个概念就是无法直接表达的，而哥德尔强大的地方就是在形式系统中找到了对应命题G的一个命题。更加具体一点的步骤虽然书上也有写，不过这里就不搬上来了……
然后是哥德尔第二定理
哥德尔第二定理：公理体系的一致性在自身中是无法证明的。
证明思想：哥德尔第一定理说的是，只要公理体系满足一致性，就能找到一个“真的但不可证明”的命题。也就是 一致性=>G是真的 而如果公理体系的一致性能够在体系中得到证明的话，即 证明=>一致性 那么根据传递性，就可以得到 证明=>一致性=>G ，也就是说G能够在公理体系内被证明，而这违反了哥德尔第一定理。于是证毕。
哥德尔第二定理也是个很“有用”的定理——虽然这个有用是在消极意义上——第三次数学危机的根源是罗素悖论的提出，而希尔伯特希望建立一个形式化的集合论公理体系来作为数学基础，其中一个目的就是排除掉集合论悖论的存在。一致性即是担当这一重任的，希尔伯特希望新的形式公理体系能够具有的性质。（一致性能够排除掉悖论的原因见番外篇）
最后谈谈我对哥德尔定理的看法。之前我一直主张对于“看似很有哲学意味”的自然科学中的结论最好不要轻易拿来作为哲学论据，在看过哥德尔定理的证明以后……还是这么觉得。哥德尔的证明过程并没有特别多的颠覆性，还是很按部就班地按照逻辑公理，构造出一个仿悖论式的命题。我觉得相比于哥德尔定理本身，悖论的存在更是一个值得考虑的问题。是不是人类最基础的哪一步走错了，才会导致悖论的出现？
顺便再提一下连续统假设。定义什么的太麻烦了，知道的同学看一下就可以了……连续统假设在现有公理化集合论体系既不能证明也不能证伪——相信很多同学都是知道的。其实哥德尔本人也没有证明完全，他只证明了连续统假设的否命题在BG体系内是不可证的，后来由Cohen证明了ZF体系内连续统假设不可证明，合起来就成了最后的结论。连续统假设作为一个看得见摸得着的“不可证命题”，还是很珍稀的啊。
其实这本书里还讲到了Brouwer为什么要否定排中律，实无限和潜无限的区别，对角线证法引出的逻辑定理，三次数学危机共通的根源……等有趣的话题，作者确实是在理解的基础上写成这本书，这一点我觉得难能可贵。全书最后还讨论了一下悖论和辩证法的内在联系，不带偏见的话也可一看，虽然我看得云里雾里就是了……
最后的最后再附一篇丁踏雪分享给我的还是关于哥德尔定理的文章，主要是其中的第四节“哥德尔本人谈不完全性定理的哲学义蕴”很值得一看。哥德尔本人谈啊。
番外篇
悖论之所以为悖论，就是因为它们的存在违背了基本的逻辑公理，但又很难否认它们的存在。还是拿“说谎者悖论”来说明：
 “我正在说的这句话是谎话”
假设这句话是真的。则根据其内容，得出这句话是假的，而这与假设矛盾，根据矛盾律，这句话就不能是真的。再根据排中律，那么证明这句话是假的。
同理，假设这句话是假的，也能证明这句话是真的。
于是我们同时证明了这句话既是真的又是假的，这就违背了一致性。反之，只要我们证明了公理体系的一致性，那就可以排除掉悖论的存在。
其实写下这段话的时候我还是存在疑惑，一致性真的能够排除掉悖论的存在？悖论的存在正是说明了逻辑公理可能存在问题，而在逻辑公理的基础上证明出来的一致性又有何用……看来这段话是我yy的，书中没有……